Pseudo- und Quasi-Zufallszahlen: Maße und Konstruktionen

Quasi- und Pseudozufallszahlen sind algorithmisch erzeugte Zahlen oder Vektoren, die bestimmten, definierten Anforderungen an Zufälligkeit genügen sollen. Pseudozufallszahlen sollen dabei besonders nah an `echte` Zufallszahlen kommen, während für Quasizufallszahlen die für Anwendungen wichtigen Aspekte optimiert werden. Die Verwendung beider Typen erstreckt sich auf viele Bereiche; Quasizufallszahlen werden besonders für numerische Integration oder Optimierung, Pseudozufallszahlen in Kryptographie und Datenübermittlung, beide in Simulationen verwendet. Daraus ergeben sich Anwendungen insbesondere in Finanzmathematik, Bildverarbeitung, Unterhaltung (etwa Spiele) und viele mehr. Das Projekt beschäftigt sich mit den eingangs erwähnten Anforderungen, bzw. Messgrößen in mehrerlei Hinsicht. Zum einen soll für eine besonders wichtige Unterklasse der Quasizufallszahlen, den digitalen Punktfolgen, die bestimmende Grösse, der sogenannte t-Parameter, als ein logisch aus einer abstrakteren Sichtweise folgender Wert entwickelt werden, vergleichbar, wie es etwa die Euler-Charakteristik bezüglich Mannigfaltigkeiten ist. Motivation dafür ist, dadurch gezielter den t-Wert optimierende Konstruktionen solcher Quasizufallszahlen finden zu können. Ein anderes Ziel des Projekt ist es auch, die in den letzten Jahren zahlreich neu entwickelten, speziell die algebraisch-geometrischen Konstruktionen der digitalen Punktfolgen zu klassifizieren, d.h., im Hinblick auf gemeinsame Spezialfälle, gemeinsame Verallgemeinerungen oder Unterfälle zu untersuchen. Damit soll ein klareres Bild der Verhältnisse der Konstruktionen zueinander erreicht werden, was u.A. deswegen von Interesse wäre, da in vielen Fällen derselbe asymptotisch optimale t-Wert bei sehr verschieden scheinenden Vorgangsweisen erreicht wird. Weiters soll eine Datenbank spezifisch errechneter Erzeugermatrizen für digitale Punktfolgen bereitgestellt werden und gleichzeitig die jeweilige Qualität im Sinne des t-Wertes genauer bestimmt werden. Damit erhalten mathematische und nicht-mathematische Anwender eine bessere Einschätzung der Qualität ihrer Anwendung sowie auch des benötigten Zeitaufwands (höhere Qualität bedingt weniger zu verwendende Punkte, somit ergibt sich geringerer Zeitaufwand). Die dabei zur Veröffentlichung einzusetzende Web-Datenbank, MinT, wurde von Schmid und Schürer an der Universität Salzburg entwickelt und ist eine weltweit anerkannte Ressource. Die nötigen Aufwendungen, diese Web-Site zu erneuern, warten und auszubauen, sollen ebenfalls innerhalb dieses Projekts geschehen, danach soll die Antragstellerin letztendlich gänzlich die Verantwortung für die Seite übernehmen. Schließlich sollen im Bereich der Pseudozufallszahlen speziell für nichtlineare sowie vektorielle Zufallsmaße ebenfalls Beziehungen zwischen verschiedenen Konzepten (z.B. higher-order correlation im Vergleich zu maximum-order complexity) aufgezeigt werden. Zusätzlich sollen einige nichtlineare Generatoren in effizienter Weise implementiert und bereitgestellt werden.

Das Projekt hatte die Zielstellungen, algorithmische Zufälligkeit in mehreren Aspekten zu untersuchen, sowie, die Übernahme, Wartung und Erweiterung einer wissenschaftlichen Datenbank, MinT, durchzuführen. In der algorithmisch erzeugten Zufälligkeit unterscheidet man grob zwischen pseudo-Zufälligkeit, deren Anwendung zB. im Datentransfer, etwa bei Mobilfunknetzwerken, oder auch in der Verschlüsselung von Daten liegt, und quasi-Zufälligkeit, die besonders für Verfahren numerischer Integration wichtig ist, die in vielfältigen Bereichen, wie Finanzmathematik, Computergrafik, etc angewandt wird. Im ersten Bereich konnten grundlegende Erkenntnisse über die Zusammenhänge verschiedener Kriterien und Bewertungsmassstäbe der pseudo-Zufälligkeit gewonnen werden. Spezifisch betraf dies sogenannte Bent-Funktionen, die sich durch ein hohes Mass an Nicht-Linearität, und somit kryptographischer Sicherheit auszeichnen. Im zweiten Bereich, der quasi-Zufälligkeit, konnten neue Konstruktionsverfahren erstellt werden, die auch in ihrer theoretischen Grundlage interessante Einsichten über den Zusammenhang von, in bestimmt definierter Weise, gleichförmig zufällig verteilter Folgen ganzer Zahlen und gleichförmig zufällig verteilter Punktmengen im Raum herstellen. Eine weitere Art eines Zufälligkeitskriterium ist die sogenannte `Poissonian pair correlation' die einen sehr `lokalen' Blick auf Punktmengen wirft: es wird beachtet, ob Differenzen zwischen Punktpaaren mit der vorgesehenen Häufigkeit auftreten. -- Hier konnte gezeigt werden, dass eine der klassischen Folgen, die eine gleichförmige Verteilung aufweist, dieses andere Kriterium nicht erfüllt, wobei vorher andererseits bereits bekannt war, dass andersherum dieses die gleichförmige Verteilung impliziert. -- Dieses Gegenbeispiel stellt einen kleinen Betrag zum besseren Verständnis der Begriffe und ihrer Zusammenhänge dar. Die Datenbank "MinT" schliesslich, ursprünglich an der Universität Salzburg entwickelt, stellt das Wissen über die bestmöglich erreichbaren und, sofern bekannt, verfügbaren quasi-zufälligen Punktmengen zur Verfügung. Man spricht hier vom `t-Parameter eines digitalen Netzes', der möglichst klein sein soll, daher der Name "min(imales) t"; diese Werte wurden hier gesammelt und verarbeitet. Jene Parameter haben aber auch für etliche andere Objekte der diskreten Mathematik oder Kombinatorik Relevanz, weshalb die Datenbank in der internationalen Forschungsgemeinschaft sehr geachtet wird. Am Standort in Salzburg konnte sie jedoch nur sporadisch betreut werden, weshalb in diesem Projekt der Transfer nach Linz sowie die Übertragung an neue Verantwortliche vollzogen wurde. Weiters sollte die Funktionalität erweitert werden. -- Bis auf den letzten Punkt wurde dies durchgeführt und das Weiterbestehen somit gewährleistet. An der Erweiterung der Funktionalität kann und soll ebenfalls in Zukunft noch gearbeitet werden.