Fraktale und Wörter: Topologische, dynamische und kombinatorische Aspekte

Dieses Projekt liegt an der Schnittstelle verschiedener Gebiete der Mathematik: Fraktale Geometrie, Kombinatorik, Topologie, Zahlentheorie, Graphenteorie, Maßheorie, Dynamische Systeme, u.a.. Der erste Teil des Projektes ist Fraktalen gewidmet. Zuerst werden Familien von verallgemeinerten Sierpinski Carpets behandelt, wobei etliche davon in aktuellen Publikationen der Antragstellerin definiert und studiert wurden. Zusammenhangseigenschaften, geodätische Wege und Distanzen zwischen Punkten auf dem Fraktal, Perkolation, Adressen und Graphen, die den (Prä-)Fraktalen zugeordnet werden, sind einige Themen dieses Teiles. Es soll auch untersucht werden, wie die Muster, die diese Fraktale erzeugen, etliche dieser Eigenschaften beeinflussen. Die Ergebnisse sollen dann auf weitere (umfangreichere) Klassen von Fraktalen verallgemeinert werden, auch in höheren Dimensionen und dann auch durch Verwendung des Rahmens von V-variablen Fraktalen und Zufallsfraktalen. Die oben genannten Carpets (oder Adaptierungen davon) sollen auch zur Modellierung poröser Materialien und der Diffusion dienen. Selbstaffine Kacheln wurden von zuerst vor mehr als zwanzig Jahren von Thurston und Kenyon betrachtet und sind seither Objekte intensiven Studiums. Betreffend ihre Topologie wurden bisher vorwiegend planare selbstaffine Kacheln untersucht. Eine neue Arbeit von Conner und Thuswaldner brachte einen Durchbruch und erlaubt es, topologische Eigenschaften dieser Kacheln auch in höheren Dimensionen zu studieren. Wir wollen diese Thematik weiterführen und im Rahmen dieses Projektes topologische Eigenschaften höherdimensionaler selbstaffiner Kacheln und Rauzyfraktale untersuchen. S-adische Worte und deren Dynamik stehen in enger Verbindung zu Rauzyfraktalen. Diese Fraktale wurden in einer wegweisenden Arbeit von Rauzy zu Beginn der 1980er Jahre eingeführt. Wir wollen Fortschritte betreffend die geometrische Theorie S-adischer Worte erzielen, um nichtstationäre Markovpartitionen im Sinne von Arnoux und Fisher sowie natürliche Kodierungen von Rotationen auf einem höherdimensionalen Torus mit linearer Komplexität zu konstruieren. Der zweite Teil ist Kombinatorik auf Wörtern, Ziffernentwicklungen und Codes, insbesondere Gray Codes, gewidmet. Wahrscheinlichkeitsmaße, die aus dem Studium arithmetischer Funktionen stammen und, auf Ziffernentwicklungen basierend, induktiv auf dem Einheitsintervall eingeführt wurden, werden hier verallgemeinert und auch auf Fraktalen definiert. In diesem Kontext werden auch Fragestellungen über dynamische Systeme erwähnt. Nochmehr, etliche Verbindungen zwischen dem Kapitel über Wörter und Ziffern und dem Kapitel über Fraktale kommen in dem Projektantrag vor. Die Ergebnisse dieser Forschung werden nicht nur in der reinen Mathematik, sondern auch in der Modellierung in der Theoretischen Physik, in der Theoretischen Informatik und in der Simulation Auswirkungen haben.

In diesem Projekt wurden neue Fraktale eingeführt und bezüglich derer Topologie und Geometrie erforscht. Dafür wurden neue Werkzeuge und Methoden eingeführt, und mit bereits existierenden, aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, kombiniert. Wir definierten gemischte und super-gemischte Labyrinth Fraktale, welche iterativ mit Hilfe von Musterfolgen oder Folgen von Mustermengen konstruiert werden. Das sind quadratische Muster, welche durch das Teilen des Einheitsquadrates in kongruente kleinere Quadrate, die dann in zwei Farben gefärbt werden, entstehen. Wir erhalten verallgemeinerte Sierpinski Teppiche, die fraktale Dendrite sind und im Allgemeinen weder selbstähnlich noch selbstaffin sind. Selbstähnliche fraktale Dendrite wurden auch von anderen Autoren erforscht, im Kontext von Iterierten Funktionen Systemen. Gemischte, super-gemischte und wilde Labyrinth Fraktale, mit den Werkzeugen und Methoden, die dafür in diesem Projekt entwickelt wurden, überbrücken eine Kluft zwischen selbst-ähnlichen Dendriten oder Teppichen und zufälligen Teppichen und eröffnen neue Forschungswege für damit verwandte Fraktale. Wir beweisen Kriterien darüber, wie die Form der Muster die Länge oder Dimension der Bögen in den Fraktalen beeinflusst, oder deren iterative Konstruktion. Unsere Resultate, z.B. über Wege in Prä-Fraktalen, liefern wertvolle Werkzeuge für einen rechnergestützen Umgang damit, und führten auch zu einer internationalen interdisziplinären Zusammenarbeit im Projekt, mit einer theoretischen Physikerin. Auch führten unsere Ideen und Resultate zu Prototypen von Radar Antennen von theoretischen Physikern. Auch selbstähnliche dreieckige Labyrinth fraktale wurden eingeführt. Wir erhielten neue Merkmale, aufgrund der dreieckigen Form und einer Art von Dualität, und konnten Kriterien bezüglich endlicher, unendlicher Bogenlängen oder Auftreten beider Phänomene beweisen, sowie die fraktale Dimension der Bögen in diesen Dendriten. Verallgemeinerungen sind in Vorbereitung zur Veröffentlichung. Es wurden neue topologische Resultate für selbstähnliche Kacheln in Dimension 3 erzielt. Das ist insofern bemerkenswert, als die meisten der bisherigen Ergebnisse in dieser Richtung nur im zweidimensionalen Raum gültig sind. Im dreidimensionalen Raum steht kein Analogon des Jordanschen Kurvensatzes zur Verfügung. Das hat zur Folge, dass neue Ideen nötig sind, um topologische Resultate beweisen zu können. Unter Verwendung einer Theorie von R. L. Bing aus den 1960er Jahren und deren Kombination mit modernen Methoden aus der Fraktalen Geometrie konnten Ergebnisse über selbstaffine Kacheln mit sphärischem Rand bzw. über selbstaffine Kacheln die homöomorph zu einer Kugel sind, gewonnen werden. Darüber hinaus wurden S-adische Wörter untersucht, die mit multidimensionalen Ketttenbrüchen und Rauzyfraktalen in Beziehung stehen und interessante kombinatorische Eigenschaften haben. Diese Wörter wurden benutzt, um Kroneckerrotationen auf dem Torus zu kodieren. Alle publizierten Resultate sind auch frei online für alle interessierten WissenschaftlerInnen zugänglich. Das Projekt ermöglichte viele internationale und nationale Kooperationen, welche zu wichtigem Fortschritt auf dem Gebiet führten. Noch mehr, die Resultate dieses Projektes führten zu einer reichen, neuen Forschungs-Agenda für die Zukunft, um den existierenden und in diesem Projekt entwickelten theoretischen Rahmen zu erweitern.