Seltsame Attraktore und Inverse Limes Räume

Dieser Antrag bezieht sich auf die topologische Struktur seltsamer Attraktore des Hénonschen Typs, die allgemein in chaotischen dynamischen Systemen erzeugt werden, zum Beispiel in der Entfaltung von homoklinen Bifurkationen. Das Standardbeispiel sind die Hénon Attraktoren selbst, aber in der transparenteren und linearisierten Form werden sie von der Lozi Abbildung erzeugt. Im Gegensatz zu ihrer weiten Verbreitung in der chaotischen Dynamik, ist nur wenig über die topologische Struktur solcher Abbildungen bekannt. Dieser Antrag schlägt vor Techniken aus der Theorie Räume unimodaler inverser Limeten (UILs) anzuwenden, insbesondere Klassifizierungsmethoden die zu der Lösung der Ingram Vermutung geführt haben, um Teilstrukturen weiter zu untersuchen und zur Klassifikation von Hénon-artigen Attraktoren beizutragen. Zusätzlich ist es absichtlig grafische Verfahren zu entwicklen um Hénon-artige Attraktoren und deren Feinstruktur zu visualisieren. Solche grafische Verfahren, in Zusammenhang mit Methoden der symbolischen Dynamik (zwei- seitige Knet-Theorie), werden es theoretisch ermöglichen auf beliebige Genauigkeit einzuzoomen, und also Feinstrukture (sowohl in UILs als Hénon-artigen Attraktoren) deren Komplexität das Vorstellungvermögen erschöpft, darzustellen. Eine Doktorandenstelle ist diesem Projekt mit spezifischem Bezug auf diesen Aspekt zugeordnet. Die Schlüsselergebnisse die dieses Projekt leisten soll sind die folgenden: Eine koherente symbolische Beschreibung (zwei-seitige Knet-Theorie) von Hénon-artigen Attraktoren die einen Rahmen bilden in dem sich der Pruning-Front Ansatz sowie die Aussagen über symbolische Dynamik von Rank 1 Attraktoren von Wang & Young beschreiben lassen. Eine Charakterisierung von Endpunkten, Falt-Punkten und möglicherweise komplizierteren Teilstrukturen, wie asymptotischen Komposanten, in Rahmen von der oben genannten symbolischen Darstellung. Diese Strukturen liegen die (topologische und geometrische) Inhomogenitäten von Hénon-artigen Attraktoren zu Grunde, und in dem Sinne sind sie die Bausteine einer Klassifikation von Hénon-artigen Attraktoren. Computer-implementierte Algorithmen um Hénon-artigen Attraktoren zu auf beliebige Genauigkeit zu visualisieren, so daß sie als wirkungsvolles Hilfsmittel zum Verständnis deren Feinstrukturen verwendbar ist. Das Projekt wird mit dem größeren Forschungsbereich der Kontiuumstheorie und Geometrie von seltsamen Attraktoren durch Konferenzbeteiligung, -präsentationen und internationale Besucher sowie die Veranstaltung einer Tagung (möglicherweise am Erwin Schrödinger Institut) um die zentrale Position von Wien in einer längeren Tradition in Ost-Europa für topologischer Dynamik und Kontinuumtheorie auszunützen, verknüpft.

Dieses Projekt bezog sich auf die topologischen Strukturen sogenannter seltsamer Attraktoren, die häufig in chaotischen dynamischen Systemen erzeugt werden. Das Standardbeispiel ist der nach dem französischen Astronomen genannten Hénon Attraktor, aber der Großteil der Fragen, die wir uns gestellt haben, ist schon interessant in dem einfacheren Fall inverser Limes Räume von Intervall-Abbildungen.Das Klassifikationsproblem solcher Räume ist als die Ingram Vermutung bekannt, von der ein wichtiger Fall - die Kern Ingram Vermutung - nur teilweise gelöst ist. Weitere Forschung bezog sich auf die Vielzahl von Möglichkeiten einen inversen Limes Raum in die Ebene einzubetten, das heißt als Teilmenge der Ebene zu betrachtet, und welche deren Teile dann erreichbar werden.Zwei spezielle Ergebnisse die wir hier erwähnen möchten sind:Gegeben zwei Zelt-Abbildungen mit unterschiedlichen Steigungen und nicht-rekurrenten kritischen Punkten, so sind die Kerne deren inverser Limes Räume fundamental unterschiedlich (nicht-homöomorph).Für jede Zelt-Abbildung und jeden Punkt x in deren inversen Limes Raum gibt es eine Einbettung in die Ebene die x erreichbar macht. Deswegen gibt es überabzählbar viele nicht-äquivalente Einbettungen falls die Steigung der Zelt-Abbildung zwischen ?2 und 2 liegt.Neben Prof. Henk Bruin wurde ein Doktorand Jernej ?in? von diesem Projekt unterstützt, und es gab eine enge Zusammenarbeit mit Dr. Sonja timac von der Universität Zagreb und vor allem mit ihrer Doktorandin Ana Anui?. Diese Forschung wurde in drei wissenschaftlichen Arbeiten manifestiert. Die Ergebnisse wurden an mehreren internationalen Konferenzen präsentiert, und werden auch der Kern der Doktorarbeiten von ?in? und Anui? sein. Zusätzlich wurden auch zwei weitere Publikationen von Bruin & timac und von Bobok (Prag) & Bruin veröffentlicht.