Arithmetik automorpher Formen, Perioden und L-Werte

In der Zahlentheorie bezeichnet eine Periode eine komplexe Zahl, deren Real- und Imaginärteil als das Integral rationaler Funktionen mit rationalen Koeffizienten, über einen Bereich in Rn geschrieben werden kann, welcher durch polynomiale Ungleichungen mit rationalen Koeffizienten gegeben ist. Diese Perioden spielen insbesondere beim Studium spezieller Werte automorpher L-Funktionen eine entscheidende Rolle, was durch berühmte Vermutungen von Deligne, Beilinson und Gross-Prasad bezeugt wird. Spezielle Werte automorpher L-Funktionen kodieren wiederum ihrerseits wichtige Information über die Arithmetik automorpher Formen und Galois Darstellungen. Ziel dieses Projekts ist es die Arithmetik automorpher Formen und die Beziehung von Perioden zu speziellen Werten automorpher L-Funktionen zu untersuchen. In der Strategie, welche diesem Projekt zugrunde liegt, spielt die Analyse von verschiedenen Kohomologie- Theorien automorpher Darstellungen p eine entscheidende Rolle: So stammen etwa die Perioden, welche ich betrachten werde, von einem Vergleich einer rationalen Struktur auf einem Model (z.B. dem Whittaker-Model, dem Shalika-Model oder dem Bessel-Model) von p f und einer rationalen Struktur auf einer Realisierung von pf in einem Kohomologie-Raum (z.B. (g,K)-Kohomologie oder -Kohomologie). Das Zusammenspiel solcher kohomologisch definierten Perioden und speziellen Werten automorpher L-Funktionen zu untersuchen, ist als gemeinsame Arbeit mit Michael Harris und auch mit A. Raghuram geplant. Als weiteres Ziel dieses Projekts plane ich die Arithmetik kohomologischer automorpher Formen zu studieren, indem ich den Effekt von Galois Automorphismen s auf automorphen Darstellungen p und auf Langlands-Lifts untersuche. Diese Fragen im Falle klassischer Gruppen und dem Langlands-Lift zur allgemeinen linearen Gruppe zu behandeln, scheint erst jetzt in sinnvoller Weise möglich zu sein, da J. Arthur einen Beweis seiner Vermutung über die Struktur des diskreten automorphen Spektrums gegeben hat. Ein weiterer interessanter Fall von einem Langlands-Lift, für welchen diese Fragen im vorliegenden Projekt studiert werden sollen (zumindest in gewissen niedrig-dimensionalen Fällen), ist der Asgari-Shahidi Transfer von allgemeinen Spin-Gruppen zur allgemeinen linearen Gruppe. Ein letzter, eher Lie-theoretischer Aspekt meines Projekts betrifft das Studium des -kohomologischen unitären Duals, i.e., jener unitären Darstellungen, welche zur kohärenten Kohomologie von Shimura Varietäten beitragen können. Fortschritte in diesem Fragenkreis könnten interessante Anwendungen für eine strukturelle Beschreibung von kohärenter Kohomologie in Termen des automorphen Spektrums der zugrundeliegenden Shimura Varietät haben, welche ganz im Sinne von J. Frankes Beweis der Borel-Vermutung im Fall der (g,K)-Kohomologie sind.

Mit einem starken Wort gesprochen stellen L-Funktionen so etwas wie den Heiligen Gral der Zahlentheorie dar. Dabei beziehen L-Funktionen ihre herausragende Rolle innerhalb der Mathematik aus der Tatsache, dass sie sehr tiefliegende, wenn nicht gar alle Erkenntnisse über Primzahlen in sich verborgen tragen.Die am schwersten zu verstehende und überraschenderweise zugleich grundlegendste aller L-Funktionen etwa ist die Riemannsche Zeta-Funktion, vielleicht die bestbekannte und wichtigste Funktion der Mathematik. Man weiß, dass ihre Nullstellen, also jene komplexen Zahlen, an denen die Zeta-Funktion den Wert 0 ergibt, das noch immer über alles geheimnisvolle Muster erklären, nach dem die Primzahlen im Meer aller natürlichen Zahlen verteilt sind. Eben diese Nullstellen tatsächlich zu finden, ist aber ein noch immer ungelöstes Problem.Es ist daher nicht verwunderlich, dass der Versuch die Werte einer L-Funktion (zumindest an bestimmten speziellen Argumenten) zu verstehen ein überaus wichtiges Ziel der modernen Zahlentheorie darstellt.Das vorliegende Forschungsprojekt war nun eben diesem faszinierenden Forschungsziel und den damit verbundenen Aufgaben gewidmet. Dabei waren wir in faktisch allen unseren im Projektantrag formulierten wissenschaftlichen Zielen erfolgreich, erforschten die Natur von L-Funktionen und die Arithmetik von sogenannten automorphen Formen. Die zahlreichen Resultate dieses Forschungsprojekts werfen hierbei etwas neues Licht auf das immer noch so unendlich herausfordernde Rätsel, welches uns die Zahlen stellen.