Bewertungen auf Funktionenräumen

Das Konzept der Bewertung ist grundlegend in der Geometrie. Eine Bewertung ist eine Funktion, die auf Mengen definiert ist, und additiv in Bezug auf Vereinigungen und Durchschnitte ist. Das Volumen ist ein Beispiel. Zu den zahlreichen weiteren Beispielen gehören die Oberfläche und allgemeiner die inneren Volumina sowie die Affinoberfläche, der Projektionenkörper und der Schnittkörper. Bewertungen treten auf natürliche Weise in viele Problemen auf. Anwendungen in der Integralgeometrie und den geometrischen Wahrscheinlichkeiten sind klassisch. Seit kurzem werden Bewertungen auch erfolgreich in den Materialwissenschaften, der Astronomie und der Tomographie angewendet. Der Begriff der Bewertung wurde vor kurzem auf Funktionenräume ausgedehnt (Ludwig: Advances in Mathematics 2011; American Journal of Mathematics 2012). Solche Räume sind in allen Teilen der mathematischen Analysis von großer Bedeutung und sind grundlegende Hilfsmittel für viele Probleme in den Anwendungen. Bereits jetzt ist es klar, dass einige fundamentale Operatoren als invariante und stetige Bewertungen charakterisiert werden können. Das Ziel des Projektes ist eine systematische Untersuchung von Bewertungen auf Funktionenräumen sowie die Herleitung von grundlegenden Klassifikationssätzen für solche Bewertungen. Solche Resultate werden in der Geometrischen Analysis und anwendungsnahen Gebieten von Bedeutung sein.

Das Konzept der Bewertung ist grundlegend in der Geometrie. Eine Bewertung ist eine Funktion, die auf Mengen definiert ist, und additiv in Bezug auf Vereinigungen und Durchschnitte ist. Das Volumen ist ein Beispiel. Zu den zahlreichen weiteren Beispielen gehören die Oberfläche und allgemeiner die inneren Volumina sowie die Affinoberfläche, der Projektionenkörper und der Schnittkörper. Bewertungen treten auf natürliche Weise in viele Problemen auf. Anwendungen in der Integralgeometrie und den geometrischen Wahrscheinlichkeiten sind klassisch. Seit kurzem werden Bewertungen auch erfolgreich in den Materialwissenschaften, der Astronomie und der Tomographie angewendet. Der Begriff der Bewertung wurde vor kurzem auf Funktionenräume ausgedehnt (Ludwig: Advances in Mathematics 2011; American Journal of Mathematics 2012). Solche Räume sind in allen Teilen der mathematischen Analysis von großer Bedeutung und sind grundlegende Hilfsmittel für viele Probleme in den Anwendungen. Das Ziel des Projektes ist eine systematische Untersuchung von Bewertungen auf Funktionenräumen sowie die Herleitung von grundlegenden Klassifikationssätzen für solche Bewertungen. Solche Resultate wurden speziell für Funktionen von beschränkter Variation (Tuo Wang: Indiana University Mathematics Journal 2014) und für konvexe Funktionen (Colesanti, Ludwig und Mussnig: Calculus of Variations and PDE 2017, International Mathematics Research Notices, im Druck) bewiesen. Die neuen Operatoren auf diesen Räumen sind Analoga der klassischen Begriffe des Volumens und des Projektionenkörpers. Weiter konnte die wichtige Laplace-Transformation charakterisiert werden (Jin Li und Dan Ma: Journal of Functional Analysis 2017) und damit wurden die ersten Schritte in einer Theorie der funktionenwertigen Bewertungen gemacht. Auch diskrete Bewertungen, speziell solche auf Gitterpolytopen konnten klassifiziert werden (Ludwig und Silverstein: Advances in Mathematics 2017).