Spektrale Probleme auf Lamplightergruppen und Freie Wahrscheinlichkeitstheorie

Der Schwerpunkt des Projekts verbindet geometrische Gruppentheorie, Perkolationstheorie, freie Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Physik. Wir wollen quantitative und qualitative Aspekte der Spektraltheorie von freien Lamplightergruppen im Licht einer kürzlich entdeckten Identität zwischen den Spektralmaßen von Perkolationsclustern und Lamplightergruppen untersuchen. Vor diesem Hintergrund wollen wir folgende Fragen angehen. 1. Auffindung einer Verbindung zwischen Perkolation auf freien Produkten von Gruppen und Voiculescus freier Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Berechnung weiterer Beispiele von Kerndimensionen von Faltungsoperatoren auf Lamplightergruppen. 3. Bestimmung der Asymptotik von Kerndimensionen gewisser Zufallsbäume 4. Anwendung der Mourreschen Methode in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Beantwortung dieser Fragen liefert die ersten Schritte auf dem Weg zu einem besseren Verständnis der Natur der Spektren von Perkolationsclustern, die in der mathematischen Physik ein gewisses Interesse besitzt. Als zusätzliches Thema wollen wir sogenannte spreizbare (spreadable) Kumulanten untersuchen, ein kombinatorisches Instrument, das kürzlich eingeführt wurde, um gewisse nichtkommutative Wahrscheinlichkeitstheorien, z.B. die monotone Unabhängigkeit nach Muraki, zu studieren.

Die Themen des Projekts hangen mit mehreren Aspekten der freien Wahrscheinlichkeitstheorie zusammen. Die Hauptergebnisse eröffnen einen algorithmischen Zugang zur Arithmetik des nichtkommutativen freien Schiefkörpers. Außerdem werden nichtkommutative statistische Charakterisierungsprobleme gelöst, gewisse Problem über Zufallsmatrizen betrachtet und erste Schritte zu einer tropischen Version der freien Wahrscheinlichkeitstheorie getätigt.Die freie Wahrscheinlichkeitstheorie ist die erfolgreichste nichtkommutative Wahrscheinlichkeitstheorie. Neben ihrem Ursprung in der Theorie der Operatoralgebren, weist sie starke Analogien zur klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie auf und hat viele Anwendungen und Verbindungen zur Theorie der Zufallsmatrizen, Kombinatorik nichtkreuzender Partitionen, harmonischer Analyse auf freien Gruppen, Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe und Quanteninformationstheorie.Das Project bearbeitet mehrere Aspekte der freien Wahrscheinlichkeitstheorie.1. Die Hauptergebnisse betreffen eine Frage, die im Zusammenhang mit Spektraltheorie auf freien Gruppen aufgekommen ist. Vor einiger Zeit wurde eine Methode zur Berechnung Spektren von Faltungsoperatoren entwickelt. Zu diesem Zweck wurde eine Methode wiederentdeckt, die in der Elektrotechnik und in der Theorie der formalen Sprachen als Linearisierung bekannt ist und nichtkommutative Polynome und rationale Ausdrücke mittels Matrixbüscheln darstellt. Diese Matrixbüschel können Voiculescus operatorwertigem Kalkül unterworfen werden und die numerische Auswertung der Spektren ist möglich. Zu diesem Zweck ist es vorteilhaft, mit Matrixbüscheln von kleiner und möglichst minimaler Dimension zu arbeiten. Der Rang eines Elements ist die minimale Dimension eines zugehörigen Matrixbüschels. Von einem abstrakten Standpunkt gesehen entspricht dies dem Problem, minimale Darstellungen der Elemente des freien Schiefkorpers zu aufzufinden. Das ist ein schwieriges ungelöstes Problem, für das hier Teillosungen gefunden wurden, nämlich eine vollständige Losung des Wortproblems, d.h., der Feststellung, ob zwei minimale Matrixbüschel das gleiche Element darstellen, und die Auffindung minimaler Matrixbüschel für die Inverse eines gegebenen Elements sowie für die Summe und das Produkts zweier Elemente von kleinem Rang.2. Weiters werden Verteilungen quadratischer Formen in nichtkommutativen freien Zufallsvariablen untersucht. Es hat sich herausgestellt, dass sich bei gewissen quadratischen Formen die ungeraden Kumulanten wegkürzen. Dieses Phänomen hat kein klassisches Analogon. Das hat zur Folge, dass Zufallsvariablen, deren Stichprobenvarianz die gleiche Verteilung hat wie die Stichprobenvarianz halbkreisverteilter Zufalls- variablen, nicht unbedingt halbkreisverteilt sein müssen. Die Antwort auf die entsprechende Frage in der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie ist noch offen.3. Marcus, Spielman und Srivastava haben vor einiger Zeit gewisse kombinatorische Faltungen von Polynomen studiert, die im Zusammenhang mit der Kadison-Singer-Vermutung aufgetreten sind und gezeigt, dass diese asymptotisch mit Voiculescus freier Faltung beschrieben werden können. Hier werden entsprechende Faltungen von Polynomen im Rahmen der Max-Plus-Algebra betrachtet und explizit berechnet. Max-Plus-Algebra ist eine Variante der idempotenten oder sogenannten tropischen Algebra und diese Berechnungen können als Anregung gesehen werden, tropische freie Wahrscheinlichkeit zu betrachten.