Nichtglatte Lorentz-Geometrie und symplektische Geometrie

Das Forschungsprojekt behandelt globale Fragestellungen der Analysis und Geometrie auf Mannigfaltigkeiten mit nichtglatten Lorentz-Metriken oder symplektischen Strukturen. Diese bilden die grundlegenden geometrischen Rahmentheorien fuer die mathematische Relativitaetstheorie und fuer eine moderne invariante Form der Analysis von normal hyperbolischen partiellen Differentialoperatoren. Im Falle, dass die die Geometrie definierenden Tensofelder (d.h. Pseudo-Riemann-Metrik oder symplektische 2-Form) nicht hinreichend glatt sind, koennen viele klassische Methoden nicht mehr angewandt werden und wichtige Saetze der Theorie, wie zum Beispiel ueber die Eindeutigkeit von Geodaeten, verlieren ihre Gueltigkeit. Jedoch ist gerade die geringe Regularitaet der Lorentz- Metrik ein wesentlicher Aspekt von Modellen fuer impulsive Gravitationswellen oder kosmische Strings und Bedarf an einer verallgemeinerten symplektischen Geometrie entsteht in der Hamiltonschen Mechanik zum Beispiel bei potenziellen Energiefunktionen mit rauhem Profil, in der mikrolokalen Analysis von Differentialoperatoren mit nichtglatten Koeffizienten oder in der symplektischen Beschreibung des geodaetischen Flusses auf einer nichtglatten pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit. Wir wenden Methoden der globalen Analysis von Distributionen und aus der geometrischen nichtlinearen Theorie der verallgemeinerten Funktionen an, die auf asymptotischen Abschaetzungen von regularisierenden Folgen beruhen. Der Fokus im Zusammenhang mit der Lorentz-Geometrie liegt auf dem Cauchy-Problem fuer die Wellengleichungen und Kausalitaets- eigenschaften auf nichtglatten gekruemmten Raumzeiten sowie einer erweiterten Theorie von globaler Hyperbolizitaet, insbesondere einer verallgemeinerten Theorie von Cauchy-Hyperflaechen. Wir untersuchen spezifische Aspekte von Kausalitaetsbegriffen wie zum Beispiel Zeit-Orientierung, kausale Zukunft und Vergangenheit, Abhaengigkeitsbereiche und Cauchy-Entwicklungen in ihrer Wechselwirkung mit Eigenschaften der nicht-glatten globalen Hyperbolizitaet. Dies wird zu einer tieferen Analyse von globalen Loesungen der Wellengleichungen auf nichtglatten gekruemmten Raumzeiten fuehren, speziell im Hinblick auf Traegereigenschaften und mikrolokale Eigenschaften. Fuer die verallgemeinerte symplektische Geometrie muss zunaechst eine Erweiterung der symplektischen linearen Algebra auf den Fall von Moduln ueber dem Ring der verallgemeinerten Zahlen konstruiert werden, um entsprechende Tangentialraumkonstruktionen vorzubereiten, insbesondere verallgemeinerte Lagrange-Teilraeume. Ausgehend davon werden die theoretischen Grundlagen von nichtglatten symplektischen Formen auf Mannigfaltigkeiten geschaffen sowie eine Verallgemeinerung des zentralen Satzes von Darboux in Form verallgemeinerter Symplektomorphismen mit dem klassischen Kotangentialraum bewiesen werden. Weiters werden verallgemeinerte Lagrange-Teilmannigfaltigkeiten und die Moeglichkeit ihrer Darstellung mittels erzeugender Funktionen studiert. Zusaetzlich soll eine Theorie nichtglatter Hamiltonscher Vektorfelder und zugeordneter Fluesse entwickelt werden. Die Ergebnisse werden auf Wellenfrontmengen von Kernen verallgemeinerter Fourier-Integral-Operatoren und auf den bicharakteristischen Fluss fuer den Wellenoperator auf nichtglatten gekruemmten Raumzeiten angewandt, insbesondere werden die genauen Zusammenhaenge mit Geodaeten und den Wellenfrontmengen von verallgemeinerten Loesungen untersucht.

Das Forschungsprojekt behandelte globale Fragestellungen der Analysis und Geometrie auf Mannigfaltigkeiten mit nichtglatten Lorentz-Metriken (grundlegend für die mathematische Relativitätstheorie) und symplektischen Strukturen (Basis für die nichtlineare Hamiltonsche Theorie der Mechanik). Unter den realistischen Bedingungen von geringer Regularität der Grundobjekte verlieren viele wichtige Sätze der Theorie ihre Gültigkeit und es ist daher notwendig, möglichst ähnliche Resultate in einem qualitativ erweiterten Setting neu herzuleiten. Dies ist in diesem Projekt insbesondere im Zusammenhang mit impulsiven Gravitationswellen, kosmischen Strings, Singularitätensätzen der Allgemeinen Relativitätstheorie und in Form einer erweiterten Kausalitätstheorie gelungen. Weiters sind in einer verallgemeinerten symplektischen Geometrie zunächst entsprechende Konstruktionen im Tangentialraum neu entwickelt worden, die die theoretischen Grundlagen von nichtglatten symplektischen Formen auf Mannigfaltigkeiten geschaffen haben und eine Verallgemeinerung des zentralen Satzes von Darboux bewiesen worden, der den Weg für eine nichtglatte Hamiltonsche Mechanik eröffnet.