Schrödinger-Operatoren und singuläre Störungen

Die Analysis und Spektraltheorie von partiellen Differentialoperatoren hat sich in den letzten Jahren gemeinsam mit abstrakten operatortheoretischen Techniken vielfältig weiterentwickelt. Moderne Konzepte aus der Erweiterungstheorie symmetrischer Operatoren wurden insbesondere auf Schrödinger-Operatoren mit Delta- Punktpotentialen angewandt und haben zu einem tieferen Verständnis der Spektraleigenschaften beigetragen. Im ersten Teil des Projektes wird ein abstrakter Zugang zu singulären Störungen von selbstadjungierten Operatoren im Hilbertraum entwickelt und dieser im zweiten Teil des Projektes auf Schrödinger-Operatoren mit allgemeinen Delta-Potentialen auf Kurven, Flächen und Mannigfaltigkeiten angewandt. Im ersten, abstrakten Teil werden singulär gestörte selbstadjungierte Operatoren als Erweiterungen symmetrischer Operatoren aufgefasst, auf die die Störungen keinen Einfluss haben. Mit Hilfe von sogenannten Randtripeln und deren Weylfunktionen werden die selbstadjungierten Erweiterungen explizit parametrisiert und deren Spektraleigenschaften detailliert untersucht. Die Konstruktion der Randtripel und die analytischen Eigenschaften der zugehörigen Weylfunktionen hängen von der Ordnung der Singularität der Störungen ab. Unter Zuhilfenahme von Formeln vom Kreinschen Typ werden die Differenzen der Resolventen der singulär gestörten und der ungestörten Operatoren auf Zugehörigkeit zu Schatten- von-Neumann-Idealen untersucht. Insbesondere ist hier der für die mathematische Streutheorie wichtige Fall der Spurklasse enthalten. Diese abstrakten Resultate werden dann im zweiten Teil des Projektes auf Schrödinger- Operatoren mit gewichteten Delta-Potentialen (und deren distributionellen Ableitungen) auf Kurven, Flächen und Mannigfaltigkeiten angewandt. Durch eine explizitere Darstellung der Weylfunktionen können Auswirkungen der Störungen auf die Spektren genauer beobachtet und zugehörige inverse Probleme direkter untersucht werden. In Abhängigkeit von der Regularität und der Dimension der Mannigfaltigkeiten, sowie der Differentiationsordnung der singulären Potentiale werden dabei verschiedene, im abstrakten Teil entwickelte Methoden zum Einsatz kommen. Die Aussagen werden sich in den meisten Fällen ohne Probleme auf magnetische Schrödingeroperatoren und allgemeinere elliptische Differentialoperatoren mit variablen Koeffizientenfunktionen ausdehnen lassen.

Schrödinger Operatoren und deren Spektraleigenschaften werden zur mathematischen Beschreibung von quantenmechanischen Systemen genutzt. In vielen Situationen werden verein- fachte Modelle mit singulären Potentialen (insbesondere Delta-Potentiale auf Kurven, Flächen und Mannigfaltigkeiten) herangezogen, da diese mathematisch leichter zugänglich sind und in einigen Fällen auch geschlossen analytisch gelöst werden können. In diesem Projekt wurde zuerst ein abstrakter operatortheoretischer Zugang zu singulären Störungen von selbstadjungierten Operatoren im Hilbertraum entwickelt. Hierbei wurden die zu untersuchenden selbstadjungierten Operatoren als Erweiterungen von geeigneten symmetrischen Operatoren interpretiert und mittels abstrakter Randbedingungen parametrisiert. In diesem Rahmen konnte gezeigt werden, dass die Spektraleigenschaften (isolierte und eingebettete Eigen- werte, stetiges, absolut stetiges und singulär stetiges Spektrum) der singulär gestörten Operatoren mit Hilfe einer abstrakten Titchmarsh-Weyl m-Funktion vollständig beschrieben werden können. Unter Zuhilfenahme von Formeln vom Kreinschen Typ wurden die Differenzen der Resolventen der gestörten und der ungestörten Operatoren auf Zugehörigkeit zu Schattenvon Neumann- Idealen untersucht. Der für die mathematische Streutheorie wichtige Fall der Spurklassestörung wurde gesondert behandelt. Insbesondere konnte in dieser Situation eine explizite Darstellung der Streumatrix in Abhängigkeit der abstrakten Titchmarsh-Weyl m-Funktion gezeigt werden; die gefundene Formel ist eine natürliche Verallgemeinerung von klassischen Resultaten für endlichdimensionale Störungen. Darüber hinaus wurde auch die Kreinsche Spektralverschiebungsfunktion mit Hilfe der abstrakten Titchmarsh-Weyl m-Funktion dargestellt. Die abstrakten Resultate in diesem Projekt wurden in verschiedenen Situationen auf singulär gestörte Schrödinger Operatoren angewandt. Insbesondere wurden die Existenz von Eigenwerten, Eigenwertabschätzungen, asymptotische Spektralresulate, sowie Spurformeln und streutheoretische Probleme für d und d -Potentiale auf beschränkten und unbeschränkten Hyperflächen im n- dimensionalen Euklidischen Raum behandelt. Hierbei wurde auch eine unerwartete Beziehung zwischen Schrödinger Operatoren mit d und d Potentialen auf Lipschitz Partitionen und der chromatischen Zahl der Partition hergestellt. Als ein weiteres explizites Modell wurden d-Störungen auf geschlossenen Kurven im dreidimensionalen Raum systematisch studiert und Zusammenhänge zwischen den geometrischen Eigenschaften der Kurven und den Spektraleigenschaften der zugehörigen Schrödinger Operatoren gezeigt. In diesem Projekt wurden auch Fragestellungen für singulär gestörte Dirac Operatoren, elliptische Operatoren mit variablen Koeffizienten, inverse Spektralprobleme vom Calderonschen oder Gelfandschen Typ, nicht-selbstadjungierte Operatoren mit allgemeinen Randbedingungen, Schrödinger Operatoren mit komplexen Potentialen, nicht-elliptische Operatoren aus der Theorie der Metamaterialen, meromorphe Operatorfunktionen, sowie störungstheoretische Fragestellungen und Eigenwertabschätzungen für Operatoren in indefiniten Innenprodukträumen behandelt.