Algebren und Flächen

Pfadalgebren. Ein Köcher Q ist ein orientierter Graph, er besteht aus einer Menge von Punkten und einer Menge von Pfeilen, die Punkte verbinden. Aneinanderreihen von Pfeilen liefert Pfade im Köcher. Fasst man die Pfade als Erzeugende auf und die Verknüpfung von Pfeilen als Multiplikation, so definiert Q eine Algebra, die Pfadalgebra des Köchers. man Relationen zwischen den Pfaden liefern entsprechende Relationen zwischen den Elementen der Pfadalgebra. Dank einem Resultat von Gabriel ist diese Konstruktion äußerst weitreichend: jede Algebra kann damit beschrieben werden (bis auf Morita-Äquivalenz). Flächen mit markierten Punkten auf dem Rand. Einer Riemannschen Fläche S mit einer Menge markierter Punkten auf dem Rand können verschiedene Algebren zugeordnet werden. Eine Variante ist die Folgende: Eine Triangulierung von S mittels Kurven zwischen markierten Punkten definiert einen Köcher Q(S): seine Punkte sind die Kurven und die Randsegmente (zwischen nebeneinander liegenden markierten Punkten des Randes). Die Pfeile des Köchers entstehen durch Rotationen dieser Kurven und Randsegmente um gemeinsame Endpunkte. Die Pfadalgebra von Q(S) ist also eine der Fläche assoziierte Algebra, die gewisse Eigenschaften von S beschreibt Köcher mit Potentialen. Einem Köcher Q lässt sich eindeutig ein Potential W zuordnen: Die Terme in W sind die orientierten Zykel im Köcher, Zykel im Uhrzeigersinn treten dabei mit positivem Vorzeichen auf, Zykel im Gegenuhrzeigersinn mit negativem. Die Ableitungen von W liefern Relationen zwischen den Pfaden des Köchers. Damit liefert (Q,W) eine Pfadalgebra (mit Relationen). Köcher mit Potentialen sind eng mit der Theorie der Cluster Kategorien verknüpft, sie sind daher in den letzten Jahren in den Brennpunkt der Forschung geraten (Derksen- Weyman-Zelevinsky, Labardini-Fragoso, Amiot, etc.). Unser Projekt ist eng mit all diesen Themen verknüpft. Die Motivation stammt von aktuellen Entwicklungen in diesen Gebieten. Es ist unser Ziel, einen Begriff von Oberflächenalgebren zu entwickeln. Jeder Fläche S ordnen wir eine Klasse von Algebren zu: Die Randsegmente werden zu Punkten eines Köchers Q, seine Pfeile verbinden benachbarte Segmente (jeweils in beiden Richtungen), sowie verschiedenen Randkomponenten. Außerdem soll Q eine Menge von Relationen erfüllen. Solche Algebren werden zur Zeit von Jensen-King-Su und Baur-King-Marsh studiert. Es sind Algebren, die aus Triangulierungen und ihren Potentialen entstanden sind. Diese sogenannten Randalgebren sind Grundbausteine unseres Projekt. Wir wollen hier anknüpfen und einen weitgesteckten Begriff von Oberflächenalgebren einführen, wobei in den Relationen Eigenschaften der Fläche S eingebaut werden. Damit wird es möglich, Triangulierungen zu umgehen. Eines unserer Ziele ist, die Theorie auf gelochte Flächen zu erweitern, da diese in der Cluster Theorie im Dynkin-Typ D eine zentrale Rolle spielen.

Im Fokus dieses Projekts waren Eigenschaften triangulierter Flachen und assoziierter Algebren Unter den wichtigsten Resultaten ist die Charakter- isierung (periodischer) unendlicher Friesmustern und ihres Wachstums. In den 70er Jahren haben Coxeter und Conway Friesmuster aus Zahlen unter- sucht, Muster, die aus endlich vielen Zeilen von positiven Zahlen gebildet sind, unter der Diamantregel: fur alle a, b, c, d im Muster (wie links) gilt: ad - bc = 1. 3 2 1 11 11 b 13 21 3 2 ad2 51 21 1 1 c 13 21 3 2 1 11 112 3 Die ersten beiden Zeilen bestimmen jedes Muster. Diese Muster besitzen eine horizontale Symmetrie, sie sind invariant unter einer Gleitspiegelung. Die Muster entsprechen genau Triangulierungen eines Polygons: die Zahlen der ersten nicht-konstante Zeile sind die Anzahl der Dreiecke, die an einen Eckpunkt des Polygons stossen (rechts im Bild). Verbindungen zur Theo- rie der Clusteralgebren haben das Interesse an Friesmustern neu erweckt. So wurden in einer Arbeit von Baur und Marsh uber Friese und Clusteral- gebren unendliche Friesmuster beschrieben. Ein Beispiel eines unendlichen Friesmusters: 1 11 11 2 23 22 3 2 3 55 35 3 7 78 77 8 .. .. .. 2 In diesem Projekt gelang es uns, zu zeigen, dass unendliche (periodische) Friesmuster durch Triangulierungen von Kreisringen entstehen ([3, 2]). Wir zeigten, dass die Flache das Wachstum des Musters festlegt. Ausserdem haben wir bewiesen, dass das Wachstum entweder linear oder asymptotisch exponentiell ist. Die Wachstumskoezienten werden durch Tschebyschow- polynome beschrieben, [1]. References 1. K. Baur, K. Fellner, M. J. Parsons, and M. Tschabold, Growth behaviour of periodic tame friezes, ArXiv e-prints (2016). 2. K. Baur, M. J. Parsons, and M. Tschabold, Infinite friezes, European J. Combin. 54 (2016), 220237. MR 3459066 3. M. Tschabold, Arithmetic infinite friezes from punctured discs, ArXiv e-prints (2015).