Analysis und Geometrie in verallgemeinerten Zahlen

Seit ihrer Einführung in den frühen achtziger Jahren hat sich die Theorie der verallgemeinerten Funktionen im Sinn von J. F. Colombeau rasch weiter entwickelt. Ihr Nutzen gründet sich auf die Tatsache, dass sie es erlaubt, gleichzeitig Differentiation, nichtlineare Operationen und singuläre Objekte zu studieren, all dies im Rahmen einer konsistenten Erweiterung sowohl der klassischen Analysis als auch der Distributionentheorie von L. Schwartz. Die Theorie der Fermat-Zahlen stellt eine Alternative (innerhalb der klassischen Logik) zur synthetischen Differentialgeometrie dar, und bietet allgemeiner einen konsistenten, kartesisch abgeschlossenen kategoriellen Rahmen, in dem nilpotente Infinitesimalen verfügbar sind, und der auf diffeologische Räume anwendbar ist. Es handelt sich dabei um eine Theorie von Infinitesimalen, die ohne tiefere Bezüge zur formalen Logik auskommt und die daher für Differentialgeometer und Physiker einfacher anwendbar ist. Dieses Projekt zielt darauf ab, zwei eng korrelierte Forschungsstränge auf Basis der zugrunde liegenden Ringe zu voranzutreiben: Colombeau-Zahlen und Fermat-Zahlen. Unser Ziel ist es, eine Erweiterung der Colombeau`schen Theorie verallgemeinerter Funktionen zu entwickeln, die es erlaubt, diese als Kategorie glatter mengentheoretischer Funktionen auf einem Ring verallgemeinerter Zahlen zu betrachten, mit Anwendungen in unendlichdimensionalen Räumen, wie etwa Räumen glatter Abbildungen und in der Differentialgeometrie von Räumen mit Singularitäten. Diese Theorie weist Ähnlichkeiten mit üblichen glatten Funktionen auf und verfügt über sehr gute kategorielle Eigenschaften. Unendlichdimensionale Räume werden im Rahmen einer Quasi-Topos Einbettung der Kategorie der diffeologischen Räume studiert, insbesondere im Fall glatter Mannigfaltigkeiten. Wir erwarten enge Verbindungen zur funktoriellen Erweiterung jedes diffeologischen Raumes durch verallgemeinerte Punkte und den damit zusammenhängenden Vererbungseigenschaften mit der Semantik der intuitionistischen Logik. Eine erste Anwendung dieser neuen Theorie liegt in einem auf infinitesimalen Methoden beruhenden intrinsischen Studium klassischer Themen der Differentialgeometrie glatter Mannigfaltigkeiten, Räumen glatter Abbildungen und Räumen mit singulären Teilmengen, beispielsweise Vereinigungen von Mannigfaltigkeiten verschiedener Dimension.

Das allgemeine Ziel dieses Projektes war es, jene Teilbereiche der Nicht- Archimedischen Geometrie und Analysis, bei denen infinitesimale Zahlen eine zentrale Rolle spielen, weiter zu entwickeln. Dieses Ziel wurde erreicht, obwohl einige spezielle Punkte sich als komplizierter herausgestellt haben als zuerst erwartet. Das Projekt beschäftigte sich hauptsächlich mit der Entwicklung einer neuen Theorie verallgemeinerter Funktionen, den sogenannten verallgemeinerten glatten Funktionen, sowie mit einem weiteren Ausbau der Theorie der Fermatzahlen.All diese Themen wurden im nicht-Archimedischen Kontext beschrieben, d.h. es wurden nicht die klassischen reellen Zahlen, sondern Formen infinitesimaler und ifiniter Zahlen genutzt. Das Hauptziel dieses Projektes war es, mathematische Strukturen zu erhalten, die es ermöglichen, viele nicht formale Rechnungen in der Mathematik und der Physik in einer modernen und rigorosen mathematischen Sprache zu formalisieren.Obwohl diese neuen Typen von Funktionen sowohl infinitesimale als auch unendliche Werte annehmen können, behalten eine ganze Reihe von Resul- taten des klassischen Differential- und Integralkalküls ihre Gültigkeit. Häufig sind die entsprechenden neuen Aussagen direkte Umformulierungen der klassischen Analoga, in denen der klassische Körper der reellen Zahlen durch den neuen nicht-Archimedischen Ring der Skalare ersetzt wird. Im Rahmen des Projektes wurden wichtige grundlegende Resultate über die Losbarkeit sowohl von singulären gewöhnlichen Differentialgleichungen also auch von partiellen Differentialgleichungen erzielt.