Erweiterte Gruppenanalysis von Differentialgleichungen

Die Bedeutung von Symmetrien in den Naturwissenschaften kann schwer überbewertet werden. Symmetrien bilden das Fundament zahlloser Teilgebiete der Physik, z.B. der klassischen und Quantenmechanik, Relativitätstheorie und Elementarteilchenphysik. Symmetrien von Differentialgleichungen ermöglichen die Berechnung von exakten Lösungen und Erhaltungssätzen und stellen somit wichtige Informationen zur Lösbarkeit der untersuchten Gleichungen bereit. Obwohl die entsprechenden Verfahren klassische Anwendungen von Symmetriemethoden sind gibt es noch weitere, modernere Methoden, die aufgrund ihrer potentiellen Anwendbarkeit eine tiefer gehende Untersuchung verdienen als sie zur Zeit verfügbar ist. Beispiele für solche Anwendungen sind die Konstruktion von invarianten Parameterisierungs- und Diskretisierungsschemata. Das Ziel dieses Projekts ist eine substantielle Weiterentwicklung der Gruppenanalyse von Differentialgleichungen im Zusammenspiel von Mathematik und Anwendungen, wobei spezielles Augenmerk auf die Atmosphärenwissenschaften gelegt werden soll. Das Forschungsprogram baut dabei essentiell auf dem FWF- Vorgängerprojekt Klassifikationsprobleme der Gruppenanalyse auf. Wir planen eine Erweiterung und Anwendung der modernen Gruppenanalyse in algebraischen Begrifflichkeiten. Die algebraische Formalisierung von zahllosen existierenden Methoden der Gruppenanalyse beinhaltet eine neue Darlegung des Konzepts der Admissible Transformations in Klassen von Differentialgleichungen in Begriffen der Gruppoidentheorie. Wir werden Äquivalenzgruppoide und infinitesimale Normalisierung rigoros definieren und einen universell anwendbaren Methodensatz für den algebraischen Zugang zur Konstruktion von Punktsymmetriegruppen einzelner Differentialgleichungen, Äquivalenzgruppen und Äquivalenzgruppoiden von Klassen von Differentialgleichungen bereitstellen. Die Definition von Reduktionsmoduln von Systemen von Differentialgleichungen wird unter Verwendung von Werkzeugen der formalen Kompatibilitätstheorie formalisiert. Das Konzept von singulären Reduktionsmoduln wird entwickelt und auf Systeme von Differentialgleichungen erweitert. Als praktischen Beweis der Nützlichkeit der zu entwickelnden theoretischen Begrifflichkeiten werden wir Klassen von Differentialgleichungen untersuchen, die auf natürliche Weise im Zuge der Konstruktion von physikalischen Parameterisierungsschemata für unaufgelöste Prozesse in numerischen Modellen der Geofluiddynamik auftauchen und die bestimmte Symmetrien bzw. Erhaltungssätze besitzen. Die Kernziele dieses Projekts werden eine Beschreibung der universellen abelschen Einhüllenden von Evolutionsgleichungen zweiter Ordnung bis auf Kontaktäquivalenz, die Untersuchung von niedrigstufigen Erhaltungssätzen von (1+1)-dimensionalen Evolutionsgleichungen, die Konstruktion linearer Potentialframes, Potentialsymmetrien und Potentialerhaltungssätzen dieser Potentialframes, die Erarbeitung von Ausschlusskriterien für nichtklassische Symmetrien linearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen und die Klassifikation nichtlinearer Reduktionsoperatoren von (1+1)-dimensionalen nichtlinearen Wärmeleitungsgleichungen mit von allen Variablen abhängigen Quellen sein.

Im Zuge dieses Projekts erweiterten wir die theoretischen Grundlagen der Symmetrieanalyse von Differentialgleichungen in deren erweiterter Interpretation. Die Anwendungen der Methoden der Gruppenanalyse auf bekannte Modelle der Fluiddynamik und Meteorologie, inklusive deren invarianter und konservativer Parameterisierung, wurde zugleich weitergeführt um die Fähigkeit der modernen Gruppenanalyse zu zeigen zum Verständnis der geophysikalischen Fluiddynamik bei- zutragen. Die obigen theoretischen Studien wurden erweitert durch die Klassifikation einer Vielzahl an Objekten (Lie- und diskrete Symmetrien, zugelassene und Äquivalenztransformationen,konditionelle Symmetrien, Reduktionsoperatoren, exakte Losungen, Erhaltungssatze, Potentialsymmetrien, etc.) für bestimmte Systeme von Differentialgleichungen oder Klassen von Systemen von Differentialgleichungen die eine Rolle in Anwendungen spielen, sowie zur Verfeinerung der Theorie der erweiterten Gruppenanalyse von Differentialgleichungen. Eine Vielzahl an neuen und modifizierten Techniken wurde entwickelt und im Zuge unserer Berechnungen verwendet. Viele Projektresultate sind in der Tat überraschend. Insbesondere erweiterten wir die Studie von Äquivalenzgruppoiden von Klassen von Differentialgleichungen indem wir den Begriff von uniformly semi-normalized class of differential equations einführten. Der Satz zur Partition von Symmetriegruppen in uniform semi-normalisierten Klassen gestattete uns die Bandbreite der algebraischen Methode der Gruppenklassifikation auf Klassen die nicht normalisiert sind zu erweitern. Wir konstruierten, zum ersten Mal, mehrere Beispiele von nichttrivialen verallgemeinerten Äquivalenzgruppensodass die Äquivalenztransformationskomponenten assoziiert mit den Gleichungsvariablen lokal von nichtkonstanten Parameterelementen der zugehörigen Klasse abhängen. Wir weisen darauf hin dass mehr als zwanzig Jahren nach der Einführung des Begriffs der verallgemeinerten Äquivalenzgruppe kein einziges nicht-triviales Beispiel einer solchen Gruppe in der Literatur bekannt war, mit Ausnahme von Klassen für die manche Parameterelemente konstant waren. Wir konstruierten explizit und rigoros erweiterte verallgemeinerte Äquivalenzgruppen für eine Vielzahl von Klassen von Differentialgleichungen (sowohl gewöhnlicher als auch partieller). Diese Beispiele sind auch die ersten Beispiele einer solchen Konstruktion in der Literatur. Wir fanden Klassen von Differentialgleichungen mit nichttrivialen verallgemeinerten Äquivalenzgruppen die eigentlichen Untergruppen enthalten die dieselben Untergruppoide der entsprechenden Äquivalenzgruppoiden erzeugen wie die gesamten Gruppen. Minimale Untergruppen dieser Art wurden effektive verallgemeinerte Äquivalenzgruppen der zugehörigen Klasse von Differentialgleichungen getauft, und diese haben unerwartete Eigenschaften. Es gibt Klassen von Differentialgleichungen deren effektive verallgemeinerte Äquivalenzgruppen keine normalen Untergruppen der zugehörigen verallgemeinerten Äquivalenzgruppen sind und diese sind daher nicht eindeutig. Wir fanden zudem Klassen von Differentialgleichungen deren effektive verallgemeinerte Äquivalenzgruppen nicht die gewöhnlichen Äquivalenzgruppen beinhalten. Der zweite Noethersche Satz wurde weiterentwickelt und verallgemeinert auf Systeme von Differentialgleichungen die nicht notwendigerweise EulerLagrangen Gleichungen sind. Die komplette Lösung des inversen Problems bezüglich Erhaltungssätze für (1+1)-dimensionale Evolutionsgleichungen erlaubte unsdie lokalen Erhaltungssatzevongeradzahligen(1+1)-dimensionalen Evolutionsgleichungen zu beschreiben. Die Verfeinerung der Definition von nichtklassischen Symmetrien für einzelne Differentialgleichungen und die Einführung des Begriffs des singulären Reduktionsmoduls erlaubte die gesamte Theorie der nichtklassischen Symmetrien von Differentialgleichungen zu verbessern.