Mathematik der nichtlinearen Akustik: Analysis, Numerik und Optimierung

Wissenschaftliche Forschung im Bereich der nichtlinearen Akustik ist in den letzten Jahren stark getrieben durch die rasch steigende Anzahl von Hochleistungsultraschallanwendungen in industriellem und medizinischem Kontext, von Ultraschallreinigung oder -schweißen über Sonochemie bis hin zur Nierensteinzertrümmerung und Thermotherapie. Unsere Arbeit in diesem Zusammenhang ist beispielsweise motiviert durch Anwendungen in der Lithotripsie, wo bessere Erkenntnis und Kontrolle der physikalischen Effekte mittels mathematischer Analysis, numerischer Simulation und Optimierung zu einer wesentlichen Reduktion des Verletzungs- und Komplikationsrisikos führen sollte. Eine wichtige Grundvoraussetzung zur verlässlichen und fundierten numerischen Simulation und Optimierung ist die mathematische Analyse der zugrundeliegenden partiellen Differentialgleichungsmodelle in allgemeinen dreidimensionalen Geometrien mit geeigneten Anfangs- und Randbedingungen. Dies wurde bisher nur für die klassischen Modelle der nichtlinearen Akustik gemacht. In diesem Projekt planen wir, das qualitative und quantitative Verhalten neu entwickelter Modelle zu analysieren, was für die Beurteilung des erforderlichen Modellierungsniveaus für praktisch relevante Anwendungen entscheidend ist. Ein weiterer wichtiger Aspekt dem sich dieses Projekt widmen wird, ist die Kopplung der nichtlinearen Akustik zu anderen physikalischen Feldern (Anregungsmechanismus, Fokussierungslinse, Wärmeerzeugung, Interaktion mit Nierensteinen). Auch die numerische Simulation stellt große Herausforderungen aufgrund der Nichtlinearität, der Koppung zu anderen physikalischen Feldern, der unterschidlichen zeitlichen und räumlichen Skalen, die aus unterschiedlichen Wellenlängen in den verschiedenen Teilgebieten resultieren, und der Tatsache, dass die Wellenausbreitung eigentlich unbeschränkt im Raum stattfindet. Hier werden wir Gebietszerlegungsmethoden (nonmatching grids, mortar elements) für die Kopplung verwenden und an operator splitting Verfahren für effiziente und robuste Zeitintegration sowie absorbierenden Randbedingung zur Simulation der unbeschränkten Wellenausbreitung mittels eines endlichen Rechengebiets arbeiten. Die Auslegung von Hochleistungsultraschallgeräten führt auf Formoptimierung und optimale Kontrollprobleme im Zusammenhang mit den oben erwähnten partiellen Differentialgleichungen, mit Zustands- und Kontrollbeschränkungen entsprechend den physikalischen und technischen Restriktionen. Hier planen wir, Sensitivitäten erster und zweiter Ordnung für effiziente Optimierungsverfahren herzuleiten und zu fundieren, sowie multilevel Methoden basierend auf natürlichen Modellhierarchien zu entwickeln.

Wissenschaftliche Forschung im Bereich der nichtlinearen Akustik wurde in den letzten Jahren stark getrieben durch die rasch steigende Anzahl von Hochleistungsultraschallanwendungen in industriellem und medizinischem Kontext, von Ultraschallreinigung oder -schweißen über Sonochemie bis hin zur Nierensteinzertrümmerung und Thermotherapie. Unsere Arbeit in diesem Zusammenhang war insbesondere motiviert durch Anwendungen in der Lithotripsie, wo bessere Erkenntnis und Kontrolle der physikalischen Effekte mittels mathematischer Analysis, numerischer Simulation und Optimierung zu einer wesentlichen Reduktion des Verletzungs- und Komplikationsrisikos führen kann.Eine wichtige Grundvoraussetzung zur verlässlichen und fundierten numerischen Simulation und Optimierung ist die mathematische Analyse der zugrundeliegenden partiellen Differentialgleichungsmodelle in allgemeinen dreidimensionalen Geometrien mit geeigneten Anfangs- und Randbedingungen. Dies war bislang nur für die klassischen Modelle der nicht- linearen Akustik durchgeführt worden, die jedoch eine Reihe von physikalischen Effekten nicht hinreichend genau erfassen. In diesem Projekt haben wir eine rogorose Analyse des qualitativen und quantitativen Verhaltens neu entwickelter Modelle durchgeführt, was für die Beurteilung des erforderlichen Modellierungsniveaus für praktisch relevante Anwendungen entscheidend ist. Ein weiterer wichtiger Aspekt dem sich dieses Projekt gewidmet hat, ist die Kopplung der nichtlinearen Akustik zu anderen physikalischen Feldern (Anregungsmechanismus, Fokussierungslinse, Wärmeerzeugung, Interaktion mit Nierensteinen).Auch die numerische Simulation stellt große Herausforderungen aufgrund der Nichtlinearität, der Kopplung zu anderen physikalischen Feldern, der unterschiedlichen zeitlichen und räumlichen Skalen, die aus unterschiedlichen Wellenlängen in den verschiedenen Teilgebieten resultieren, und der Tatsache, dass die Wellenausbreitung eigentlich unbeschränkt im Raum stattfindet. Hier haben wir die Anwendbarkeit von Gebietszerlegungsmethoden für die Kopplung unter- sucht und operator splitting Verfahren für die effiziente und robuste Zeitintegration sowie absorbierenden Randbedingung zur Simulation der unbeschränkten Wellenausbreitung mittels eines endlichen Rechengebiets entwickelt.Die Auslegung von Hochleistungsultraschallgeräten führt auf Formoptimierung und optimale Kontrollprobleme im Zusammenhang mit den oben erwähnten partiellen Differentialgleichungen, mit Zustands- und Kontrollbeschränkungen entsprechend den physikalischen und technischen Restriktionen. Hier haben wir Sensitivitäten erster und zweiter Ordnung hergeleitet und mathematisch fundiert, welche die Basis für effiziente numerische Optimierungsverfahren bilden.