Stewart Gough Plattformen mit Selbstbewegungen

Dieses Projekt behandelt Stewart Gough (SG) Plattformen mit Selbstbewegungen. Zur Erinnerung: Eine SG Plattform ist ein paralleler Manipulator, der aus einer bewegten Plattform besteht, die über sechs Kugel-Schub- Kugel Beine mit der Basis verbunden ist, wobei nur die Schubgelenke aktiv sind. Wenn die Geometrie der SG Plattform und die sechs Beinlängen gegeben sind, dann ist der Manipulator im allgemeinen starr, aber unter bestimmten Bedingungen kann dieser eine n-parametrige Bewegung (n > 0) ausführen, welche Selbstbewegung genannt wird. Alle Selbstbewegungen von SG Manipulatoren sind auch Lösungen der noch ungelösten Aufgabe, die von der Französische Akademie der Wissenschaft für den Prix Vaillant im Jahre 1904 gestellt wurde, und wie folgt lautet: "Bestimme und studiere alle Bewegungen eines starren Körpers, bei welchen verschiedene Punkte des Körpers sphärische Pfade haben." Da die Arbeiten von Borel und Bricard Preise erhielten, obwohl diese nur Teillösungen lieferten, ist die Aufgabe auch als Borel Bricard (BB) Problem bekannt. Es ist wohl bekannt, dass SG Plattformen, welche in jeder möglichen Konfiguration singulär (infinitesimal beweglich oder wackelig) sind, Selbstbewegungen in jeder Lage besitzen. Diese SG Plattformen nennt man architektonisch singulär und deren Designs sind bereits gut studiert. Deshalb sind wir nur in nicht architektonisch singuläre SG Plattformen mit Selbstbewegungen interessiert. Bis jetzt sind nur wenige Beispiele dieses Typs bekannt, da deren Berechnung eine sehr komplizierte Aufgabe darstellt. In jüngsten Publikationen des Autors wurde gezeigt, dass basierend auf dem geometrisch-kinematischen Ansatz der Redundanz überraschend neue Resultate in diesem Gebiet erzielt werden können. Das Hauptziel des Projekts ist die systematische Bestimmung, Analyse und Klassifizierung von SG Plattformen mit Selbstbewegungen unter Benützung der oben genannten Redundanzeigenschaft; d.h. wir bringen zusätzliche Beine am Manipulator an, ohne die Vorwärtskinematik und Singularitätsfläche desselben zu verändern. Außerdem wollen wir einen fundamentalen Satz des BB Problems beweisen, der von Duporcq 1898 ohne Beweis gegeben wurde. Ein weiteres Projektziel, welches von großem Interesse für Konstrukteure ist, ist die Definition eines geometrischen Qualitätsindex, welcher evaluiert, wie weit ein SG Design von einem architektonisch singulären Design (das in jeder Lage eine Selbstbewegung hat) entfernt ist. Zusätzlich wollen wir die "besten Designs" von SG Plattformen bezüglich dieses Index bestimmen. Da SG Plattformen als gewisse Verallgemeinerung von Oktaedern angesehen werden können, wollen wir auch über die folgende, sich aufdrängende, Frage nachdenken: Existieren nicht-triviale geometrische Invarianten von SG Plattformen unter deren Selbstbewegungen, wie dies für flexible Polyeder (Mittlere Krümmung und Volumen bleiben konstant während der Verformung) der Fall ist? Das eingereichte Projekt, welches zur Grundlagenforschung (BB Problem) gehört und direkte Anwendung in der Robotik (SG Plattformen mit Selbstbewegungen) hat, wird an der Forschungsabteilung Differential-geometrie und Geometrische Strukturen des Instituts für Diskrete Mathematik und Geometrie (TU Wien) unter der Leitung von Georg Nawratil ausgeführt, der den gesamten Antrag erdacht und formuliert hat.

Eine Stewart Gough (SG) Plattform ist ein paralleler Manipulator, der aus einer bewegten Plattform besteht, die über sechs Kugel-Schub-Kugel Beine mit der Basis verbunden ist, wobei nur die Schubgelenke aktiv sind. Wenn die Geometrie der SG Plattform und die sechs Beinlängen gegeben sind, dann ist der Hexapod im Allgemeinen starr, aber unter bestimmten Bedingungen kann dieser eine n-parametrige Bewegung (n > 0) ausführen, welche Selbst-bewegung genannt wird. Es ist wohl bekannt, dass SG Plattformen, welche in jeder möglichen Konfiguration singulär (infinitesimal beweglich oder wackelig) sind, Selbstbewegungen in jeder Lage besitzen. Diese SG Plattformen nennt man architektonisch singulär und deren Designs sind bereits gut studiert. Daher war das Hauptziel des Projekts die systematische Bestimmung, Analyse und Klassifizierung von nicht-architektonisch singulären SG Plattformen mit Selbstbewegungen. Um dies zu erreichen, wurde die Grundidee der Bonds ursprünglich eingeführt zum Studium beweglicher geschlossener Drehgelenksketten für die Selbstbewegungen von parallelen SG Manipulatoren adaptiert. Mittels dieser Bond-Theorie konnten folgende Ergebnisse erzielt werden: 1. Bestimmung aller Hexapoden mit Mobilität 2 oder höher. Dies inkludiert auch eine vollständige Auflistung aller Pentapoden mit 2-dimensionalen Selbstbewegungen. 2. Konstruktion von beweglichen Hexapoden deren Konfigurationskurve maximalen Grad besitzt mittels der Liaison-Technik der algebraischen Kurventheorie. 3. Es war bekannt, dass die Maximalanzahl von endlich vielen Punkten mit sphärischen Bahnen 20 beträgt. Wir konnten beweisen, dass die Selbstbewegungen der resultierenden Ikosapoden liniensymmetrische Bewegungen sind. Weiters gaben wir das erste reelle Beispiel an, welches auf Ergebnissen über Spektraeder der konvexen algebraischen Geometrie basiert. 4. Wir erreichten neuartige Resultate für kongruente/äquiforme SG Plattformen mit Selbstbewegungen und bewegliche punktsymmetrische Hexapoden. Ohne Verwendung der Bond-Theorie konnten alle SG Plattformen mit translatorischen bzw. ebenensymmetrischen Selbstbewegungen charakterisiert werden. Zusätzlich untersuchten wir einen berühmten Satz über Bewegungen mit sphärischen Bahnen, welcher von Ernest Duporcq 1898 ohne präzisen Beweis formuliert wurde. Wir demonstrierten, dass dieser Satz nicht korrekt ist und legten eine überarbeitete Version desselben vor. Weiters wurde der Zusammenhang zwischen Duporcqs Satz und architektonisch singulären SG Plattformen geklärt. Schließlich konnte noch eine neue Bewegung (zirkuläre Darboux 2-Bewegung) angegeben werden, wobei alle Punkte des Euklidischen 4-Raumes zirkuläre Bahnen besitzen.