Simulation eines Lévy-Prozesses

Die Stochastische Analysis ist mittlerweile ein aktives Teilgebiet der Mathematik, deren Anwendungen von der Finanzmathematik, Populationsdynamik bis zur Nanotechnologie reichen. Viele Modelle werden mit sogenannten stochastischen Partiellen Differentialgleichungen beschrieben. Dabei ist zumeist der stochastische Prozess ein Gauß Prozess, obwohl in letzter Zeit auch immer mehr Lèvy Prozesse mit einbezogen werden. Wie auch im Deterministischen ist die Numerik solcher Gleichungen ein wichtiger Punkt. Zumeist kann man die Existenz und Eindeutigkeit zeigen, aber es ist nicht möglich, eine explizite Formel für die Lösung zu erstellen. Hier ist es wichtig Methoden zu haben mittels deren man die Lösung einer solchen Gleichung approximieren, bzw. simulieren kann. Ist der Stochastische Prozess ein Gauß Prozess, so gibt es einfache Methoden um diesen Prozess zu simulieren. Ist der stochastische Prozess ein allgemeiner Lèvy Prozess mit Sprüngen, so gibt es in vielen Fällen keine einfachen Strategien den Zufallsprozess zu simulieren. In diesem Projekt sollen Strategien zur Simulation von Lèvy Prozessen gesucht werden und auf deren Qualität untersucht werden. Im Weiteren sollen diese Strategien an einer bestimmten Stochastischen Partiellen Differentialgleichung getestet und deren Effizienz analysiert werden.

Stochastische partielle Differentialgleichungen werden seit langem als mathematisches Modell zur Beschreibung vielfältiger Phänomene in Natur und Technik herangezogen, wobei Systeme betrachtet werden, bei denen der Zufall eine Rolle spielt. Stochastische partielle Differentialgleichungen tauchen z.B. in der Neurophysiologie, Finanzmathematik, Chemie und Populationsdynamik auf.Hier ist es wichtig anzumerken, dass sich durch die stochastische Störung das dynamische Verhalten des Systems grundlegend ändert. Bifurkationen verschwinden oder verändern sich. Konvergiert ohne zufällige Störung die Lösung gegen einen Punkt, bzw. einen Energieminimum, so kann es mit einer zufälligen Störung passieren, dass der Lösungsprozess plötzlich eine Barriere überspringt und in der Umgebung eines anderen Energieminimums herumwandert.Zumeist wird der Zufall mit einen Gauß'schen Rauschen modelliert - tauchen aber z.B. Sprünge auf, wird die Natur nicht im ausreichenden Maße beschrieben. In diesem Fall kann man das Gaußsche Rauschen durch einen Poisson Prozess ersetzen. Genauso wie bei deterministischen partiellen Differentialgleichungen ist die Numerik ein wichtiger Aspekt. Oft hat man keine analytischen Lösungen, und ist um qualitative Vorhersagen zu treffen auf Simulationen angewiesen. Hier ist nicht nur die Differentialgleichung im Raum und Zeit zu diskretisieren, sondern auch der stochastische Prozess zu simulieren. Hier ist das Problem, dass im Gegensatz zu einem Gauß-Prozess die Verteilung des Levy-Prozess in den meisten Fällen unbekannt ist. Dabei treten zwei Schwierigkeiten auf. Einerseits ist die Verteilungsfunktion der meisten Levy Prozesse unbekannt, andererseits muss man eine Hilbert oder Banachwertige Zufallsvariable generieren. Da der Raum auch diskretisiert wird, bedeutet dies, einen hochdimensionalen Levy Prozess effizient zu simulieren.Das Projekt widmete sich der Fragestellung, wie man am besten den stochastischen Prozess effizient simuliert, bzw. approximiert und wie sich eine Fehler in der Approximation auf das Gesamtsystem auswirkt.