Fastringe mit einer Rechtseins

Eines der Themen mit der sich die Algebra befasst ist das Rechnen mit Objekten wie wenn es Zahlen wären. Kann man die Objekte addieren und subtrahieren, so spricht man von Gruppe. Kann man auch multiplizieren wie wir es von den ganzen Zahlen gewohnt sind, so entsteht ein Ring. Wenn man zwar multiplizieren aber Klammerausdrücke nur von rechts ausmultiplizieren kann, so nennt man die Struktur einen Fastring. Hat man ein Objekt, das sich beim Multiplizieren wie eine Eins benimmt, so spricht man von einem Fastring mit Einselement. Diese Fastringe kennt man gut. Sie lassen sich mit sogenannten Zentralisatorfastringen beschreiben. Dabei handelt es sich um eine Menge von Funktionen von einer Gruppe in sich selbst. Die Addition erfolgt wie üblich bei Funktionen und die Multiplikation ist die Hintereinanderausführung der Funktionen. Um alle Fastringe mit Eins zu erhalten darf man aber nicht immer alle Funktionen der Gruppe in sich selbst nehmen, sondern man muss geschickt auswählen. Dies geschieht durch die Zentralisatoreigenschaft. Fastringe die man nicht so gut kennt sind jene, die keine multiplikative Eins besitzen. Diese Fastringe können sehr interessant sein, da sie unübliche Methoden des Rechnens erlauben. Tatsächlich haben viele interessante Fastringe keine Eins, aber immer noch so etwas wie eine halbe Eins. Bei Multiplikation von rechts benimmt sich diese halbe Eins wie eine Eins, bei Multiplikation von Links aber nicht. Dies hat oft erstaunliche Konsequenzen was das Rechnen innerhalb dieser Strukturen betrifft. Besonders interessante Klassen von Fastringen sind Fastringe genau solchen Typs, zum Beispiel planare Fastringe - mit einer Vielzahl von Anwendungen - oder primitive Fastringe, die kleinsten Bausteine aus denen Fastringe zusammengesetzt sind. Trotzdem sind Fastringe mit einer halben Eins bis heute wenig untersucht worden, es fehlten effiziente Methoden zu deren Untersuchung. Mit Hilfe von Funktionen auf Gruppen die nicht mehr auf die ganze Gruppe selbst abbilden, sondern nur auf eine echte Teilmenge davon, lassen sich alle Fastringe mit einer halben Eins konstruieren. Dazu muss eine neue Multiplikation, die sogenannte Sandwich - Multiplikation, eingeführt und mit der Zentralisatoreigenschaft kombiniert werden. Mit Hilfe dieser Methode die der Autor in seiner Dissertation entwickelt und in weiterführenden Publikationen angewandt hat, soll in diesem Projekt eine systematische Untersuchung von Fastringen mit einer halben Eins erfolgen.

Fastringe sind eine algebraische Struktur welche in natürlicher Weise entsteht wenn man mit Funktionen wie mit Zahlen rechnet. Man rechnet also abstrakt mit gewissen Objekten, welche speziellen Rechenregeln gehorchen die nicht mit den üblichen Rechenregeln übereinstimmen welche wir aus unserem Zahlensystem gewohnt sind. Die Strukturtheorie der Fastringe ist vor allem wenn diese ein sogenanntes Einselement besitzen und eine spezielle Endlichkeitsbedingung besitzen - es gibt mehrere davon - gut entwickelt. Dieses Projekt widmete sich der Untersuchung von Fastringen welche nicht notwendigerweise dieses Einselement besitzen und auch nicht notwendigerweise die oben genannte Endlichkeitsbedingung erfüllen. Für besonders interessante Klassen von Fastringen konnten neue Ergebnisse und komplette Beschreibungen deren Struktur erzielt werden. Zum Beispiel konnte eine explizite Konstruktionsmethode für primitive Fastringe (jeder Fastring lässt sich in geeigneter Weise aus primitiven Fastringen zusammenbauen) entwickelt werden. Diese Konstruktionsmethode bedient sich einer speziell entwickelten Multiplikation, der Sandwich Multiplikation, und erweitert und verallgemeinert die bereits bekannte Konstruktionsmethode für primitive Fastringe mit Einselement. Auch die Primitivität von Fastringen ohne die eingangs erwähnte Endlichkeitsbedingung wurde untersucht, woraus eine Menge an neuen Erkenntnissen über Fastringe gewonnen werden konnten, welche in irgendeiner Weise eng mit dem Konzept primitiver Fastringe verknüpft sind. Dazu gehören sogenannte minimale Ideale und Linksideale in Fastringen. In diesem Zusammenhang konnten Existenzbeispiele gewisser Fastringe mit speziellen Eigenschaften gefunden werden, deren Existenz zwar vermutet aber nicht gesichert war (spezielle Typen von minimalen Idealen in primitiven Fastringen). Das Konzept primitiver Fastringe spielt auch bei der Untersuchung sogenannter Automaten eine Rolle. Automaten sind eine Struktur die häufig in Fragestellungen etwa der Informatik auftaucht. Es konnten umfangreiche Ergebnisse (gemeinsam mit einem Ko-Autor) erarbeitet werden. Eine Klasse von Fastringen welche größere Beachtung auch im außermathematischen Bereich gefunden hat sind die sogenannten planaren Fastringe, da sie sich gut zur Konstruktion von statistischen Versuchsplänen eignen. Diese Fastringe sind, ebenfalls vor allem wenn sie endlich sind, gut untersucht und sie weisen kein Einselement auf, sonst wären sie in gewissem, hier nicht näher erläuterten Sinne, nicht interessant. Dieses Projekt befasste sich (mit Ko-Autoren) der Untersuchung und Beschreibung von unendlichen planaren Fastringen, auch in Verbindung mit topologischen Fragestellungen, einem anderen Teilgebiet der Mathematik. Sogenannte topologische planare Fastringe mit der mehrdimensionalen additiven Gruppe der reellen Zahlen wurden konstruiert, wobei eine Konstruktionsmethode aufgegriffen wurde, welche sich überraschender Weise auch zur Beschreibung von wichtigen Funktionstypen auf Vektorräumen verwenden lassen. Planare Fastringe mit Einselement sind sogenannte Fastkörper, das heißt dass man durch jedes Element welches nicht Null ist dividieren kann. Fastkörper finden etwa eine breite Anwendung in der Geometrie. Das Projekt griff die Fragestellung auf, ob es Fastringe (mit Einselement) gibt, wo jene Elemente mit denen man dividieren kann selbst wieder einen Fastkörper bilden bzw. eine verwandte Eigenschaft haben. Solche Strukturen existieren tatsächlich, sie wurden im Projekt umfangreich klassifiziert und sie scheinen ähnlich wie die Fastkörper Anwendungen zu bieten. In diesem Zusammenhang wurden auch sogenannte Fastvektorräume, eine Verallgemeinerung von Vektorräumen untersucht.