Homologische Spiegelsymmetrie, Spektrallücken & Anwendungen

Historisch waren Monodromie Techniken, verschwindende Zyklen und Hodge Theorie die wichtigsten Werkzeuge der Spiegelsymmetrie. Diese traditionellen Zugänge haben im modernen homologischen Zugang eine neue und tiefe Bedeutung. Dabei werden Mannigfaltigkeiten als Kategorien interpretiert, Hodge Strukturen werden in eine ausgefeilte nicht-kommutative Sprache verallgemeinert und Monodromie-Information ist in den Lücken des Orlov- Spektrums enthalten. Das Projekt besteht aus zwei Phasen. In der ersten Phase befassen wir uns mit der Erweiterung unserer Theorie der Lücken im Orlov-Spektrum. Aufgrund vorhergehender Projekte war es uns möglich, erstaunliche Fortschritte in der Entwicklung dieser Theorie zu erzielen. Die zweite Phase des Projekts widmet sich der Anwendung unserer Theorie auf eine große Zahl ungelöster Probleme. Unter diesen befinden sich Probleme und Fragen der Rationalität, der Theorie der algebraischen Zyklen und der symplektischen Geometrie. Wir möchten auf die folgenden Punkte im Besonderen hinweisen: Das Projekt vereint die in diesem Forschungsbereich international renommiertesten Experten der weltweit führenden Institutionen. In langjähriger, umfassender Zusammenarbeit haben diese Wissenschaftler kontinuierlich innovative und bahnbrechende Forschungsergebnisse erzielt. Das Projekt basiert auf bereits etablierten Kooperationen mit Physikern in Wien und auf langjährigen Forschungspartnerschaften mit MIT, IHES, KSU und LAGA Moskau, A. Renyi Institut, und der Universität Zagreb. Das Projekt wird die wissenschaftliche Gemeinschaft in Wien stark positiv beeinflussen und zur Stärkung des Standortes Wien als internationales Zentrum für algebraische Geometrie und Homologische Spiegelsymmetrie beitragen. Das Projekt bietet Studenten und PostDocs in Wien die einmalige Gelegenheit, von den maßgeblichen Experten der genannten Gebiete zu lernen, führende mathematische Institute zu besuchen und ein starkes, dauerhaftes Netzwerk aufzubauen. Das Projekt ist eine logische Weiterführung vorhergehender FWF- und ERC-Projekte mit klaren und weitreichenden Implikationen für andere Forschungsbereiche - algebraische Geometrie, symplektische Geometrie, homologische Algebra und String Theorie.

Die Spiegelsymmetrie wurde ursprünglich in der Physik entdeckt, als eine Dualität zwischen N = 2 superkonformen Quantenfeldtheorien. Im Jahr 1990 interpretierte Maxim Kontsevich, einer der Leiter dieses Projektes, diese Dualität in einem konsistenten und kräftigen mathematischen Rahmen, der Homologische Spiegelsymmetrie (HMS). Die von Kontsevich vorgebrachten Ideen führten zu spektakulären Entwicklungen in der Art wie Mathematiker auf Fragen in der theoretischen Physik zugehen, sowie unserer Auffassung von Raum selbst. Diese Entwicklungen schufen eine hektische Betriebsamkeit in Mathematikerkreisen, die zu beachtlichen Synergien zwischen vielfältigen Gebieten führte, insbesonders der symplektischen Geometrie, der algebraischen Geometrie, und der Kategorientheorie. HMS ist heute die Grundlage eines breiten Spektrums aktueller mathematischer Forschung die sich diesem Kreis von Ideen widmet. In diesem Projekt werden diese Ideen in folgende Richtungen weitergeführt: 1) Beweise der HMS-Vermutung. 2) Entwicklung der Theorie der kategoriellen linearen Systeme. 3) Verbindungen zwischen dynamischen Systemen und abgeleiteten Kategorien. Diese Forschungsrichtungen sind von ungemeiner Bedeutung für manche klassischen Fragestellungen aus der algebraischen und symplektischen Geometrie. Insbesonders die zweite und dritte Richtungen, entwickelt in den letzten drei Jahren, sind regelrecht bahnbrechend und öffnen neue Anlaufpunkte für innovative Forschung. Wir haben einen exzellenten Post-Doktoranden hervorgebracht, sowie eine Reihe von gut vorbereiteten Dissertanten: G. Dimitrov, F. Haiden, und A. Noll. Die erzielten wissenschaftlichen Ergebnisse wurden in mehreren Publikationen festgehalten, und drei Konferenzen erlaubten uns unsere neuen Resultate zu verbreiten. Das hier besprochene Projekt hat beträchtliche und umfassende Auswirkungen: 1. Die Vertiefung der Zusammenhänge mit der theoretischen Physik. 2. Die Herleitung von unerwarteten Verbindungen zwischen Kategorientheorie, Komplexität, und dynamischen Systemen. 3. Die Unterstützung in der Ausbildung einer neuen Generation von Forschern. Unsere Tätigkeit hatte breite aufklärerische Wirkung und steht in Verbindung mit der Physik. Alle oben genannten Richtungen waren fördernd in der Herauskristallisierung von Ideen bezüglich der Zusammenführung von Phasenübergängen, algebraischen Zyklen, und Spektren, und geben unseren rechtmäßigen Beitrag an die Physik zurück.