Linear verträgliche Abbildungen auf konvexen Körpern

Funktionen auf konvexen Körpern die mit der allgemeinen linearen Gruppe verträglich sind, stehen im Mittelpunkt der konvexgeometrischen Analysis, der Minkowskischen und stochastischen Geometrie, sowie der geometrischen Tomographie. Von grundlegender Bedeutung im Studium solcher Funktionen ist der Begriff der Bewertung. Bewertungen sind Verallgemeinerungen von Maßen und waren entscheidend für Dehns Lösung des dritten Hilbertschen Problems. Von da an waren Bewertungen ein essentieller Bestandteil der Geometrie. In den letzten Jahren wurden wichtige Funktionen der klassischen Brunn-Minkowski Theorie als Bewertungen charakterisiert, welche mit der gesamten allgemeinen linearen Gruppe verträglich sind. Beispiele hierfür sind die Affinoberfläche, sowie die Projektionen-, Schwerpunkt-, und Schnittköperabbildung. Kürzlich wurden einige dieser Resultate verallgemeinert. Es stellte sich heraus, dass auch Bewertungen, die lediglich mit der speziellen linearen Gruppe verträglich sind, vollständig charakterisiert werden können. Zusätzlich zeigten diese Resultate die Existenz einer Vielzahl neuer Begriffe, welche zuvor bekannte stark verallgemeinern. Es wird daher ein gründliches Studium von Bewertungen vorgeschlagen, welche linear verträglich mit echten Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe sind. Die Entwicklung einer Lp Erweiterung der Brunn-Minkowski Theorie stellt einen wesentlichen Teil der modernen konvexgeometrischen Analysis dar. Diese Lp Brunn-Minkowski Theorie wuchs rasant im Laufe der letzten Jahre. Ungleichungen der Lp Theorie sind fast ausnahmslos stärker als ihre klassischen Gegenstücke. Die zuvor erwähnten Charakterisierungen wurden zur Bestimmung der korrekten Lp Analoga von Projektionen-, Schwerpunkt-, und Schnittköpern benutzt. Überraschenderweise gibt es in jedem Fall nicht nur ein solches Lp Analogon, sondern eine ganze Familie. Diese Einsicht führte zu neuen affin isoperimetrischen Ungleichungen, welche durch linear verträgliche Abbildungen induziert sind. Weiters wurden diese geometrischen Ungleichungen verwendet um eine neue affine Lp Sobolev Ungleichung zu beweisen, welche die klassische scharfe Lp Sobolev Ungleichung verschärft. Es wird weitere Forschung auf dem Gebiet der geometrischen Ungleichungen für linear verträgliche Operatoren vorgeschlagen. Die Vertiefung der Verbindungen zwischen diesen Ungleichungen und der Analysis ist Teil des Projekts. Wie zuvor erwähnt, führten kürzlich entdeckte linear verträgliche Funktionen zu Verallgemeinerungen und Verschärfungen von klassischen Ungleichungen. Das zeigt die Notwendigkeit, den nächsten Schritt in der Entwicklung der Brunn-Minkowski Theorie, hin zu einer Orlicz Brunn-Minkowski Theorie zu gehen. Vor kurzem wurden einige Elemente einer solchen Orlicz Brunn-Minkowski Theorie entdeckt, nämlich Orlicz Projektionen- und Schwerpunktkörper, sowie ein Orlicz Minkowski Problem. Dennoch verbleibt viel Arbeit. Die Aufgabe weitere Objekte der Orlicz Brunn-Minkowski Theorie zu finden, ist Teil des Antrags.

Das Konzept der Bewertung ist grundlegend in der Geometrie. Eine Bewertung ist eine Funktion, die auf konvexen Mengen definiert ist, und additiv in Bezug auf Vereinigungen und Durchschnitte ist. Das Volumen ist ein wichtiges Beispiel. Zu den zahlreichen weiteren Beispielen gehören die Oberfläche und allgemeiner die inneren Volumina sowie die Affinoberfläche, der Projektionenkörper und der Schnittkörper. Bewertungen treten auf natürliche Weise in viele Problemen auf. Anwendungen in der Integralgeometrie und den geometrischen Wahrscheinlichkeiten sind klassisch. Vor kurzem wurde der Zusammenhang mit Problemen in der Analysis und der Theorie der Sobolev Ungleichungen hergestellt. Für diese Anwendungen sind Klassifizierungsresultate von großer Bedeutung. Dies ist die zentrale Fragestellung des vorliegenden Projekts. Insbesondere wurden Klassifizierungen von Bewertungen bewiesen, die mit der speziellen linearen Gruppe, SL(n), verträglich sind. Wichtige Beispiele solcher Bewertungen sind das Volumen aber auch die sogenannten Orlicz-Affinoberflächen und Minkowski Bewertungen, die mit einer konvexen Menge eine andere konvexe Menge assoziieren. Unter den Hauptresultaten, die während des Projektes bewiesen wurden, ist eine vollständige Klassifizierung der stetigen und SL(n) invarianten Bewertungen auf konvexen Mengen, die den Ursprung im Inneren enthalten, und eine vollständige Klassifizierung von Maß-wertigen Bewertungen und eine Charakterisierung der Lp Krümmungsmaße.