Nichtlineares Filtern mit Lévy Rauschen

Ein klassisches Anwendungsgebiet Stochastischer Partieller Differentialgleichungen ist nichtlineares Filtern, eigentlich ein Forschungsgebiet der Statistik. Zur kurzen Erklärung folgendes Beispiel: Stellen sie sich ein Bakterium, das sich in einer Flüssigkeit bewegt, vor. Einerseits bewegt sich das Bakterium zufällig, andererseits sind die Messungen des Bakteriums in der Flüssigkeit verrauscht. Das heißt durch Fluktuation in der Flüssigkeit werden die Messdaten gestört. Durch nichtlineares Filtern versucht man den Ort des Bakteriums möglichst genau zu bestimmen. Im Hintergrund ist ein sogenannter Signalprozess (das Bakterium), bezeichnet mit X, der einer stochastischen Differentialgleichung gehorcht. Beobachten kann man aber nur den sogenannten Trägerprozess Y (die Messdaten), der verrauscht ist. Die Aufgabe ist, aus den gesammelten Beobachtungen über Y, den genauen Wert von X zu rekonstruieren, oder die bedingte Dichtefunktion von X unter Y zu schätzen. Dies ist nun die Verbindung zu Stochastischen Partiellen Differentialgleichungen. Die (nicht normierte) Dichtefunktion ist die Lösung einer Stochastischen Partiellen Differentialgleichung, die sogenannte Zakai Gleichung. Die normierte Dichtefunktion löst die Kushner-Gleichung, auch eine Stochastische Partielle Differentialgleichung. Wenn der Signalprozess und/oder der Trägerprozess eine Lösung einer stochastischen Differentialgleichung ist, bei der der stochastische Term ein Wiener Prozess ist, dann muss erwähnt werden, dass darüber schon viele Arbeiten existieren. Ist der Signalprozess und/oder der Trägerprozess eine Lösung einer stochastischen Differentialgleichung, bei der der stochastische Term ein Lévy Prozess (ohne Wiener Anteil) ist, gibt es kaum Arbeiten zu dieser Problemstellung. In diesem Projekt werden wir zuerst die Frage der Existenz einer Lösung im allgemeinen Fall und ihren Eigenschaften untersuchen. Im zweiten Teil möchten wir Strategien erarbeiten mittels denen man die Lösung, d.h. die bedingte Dichtefunktion aus den Beobachtungen über Y rekonstruieren kann.

Einer der wichtigsten Anwendungsbereiche in der Technik nichtlinearen Filterns ist die Ortung, die Navigation und das Tracking. Das Problem bei der Ortung bzw. Positionierung ist, dass man versucht, während man sich bewegt, die eigene Position aus verrauschten Daten zu berechnen. Stellen Sie sich ein Schiff auf seinem Weg durch den Ozean vor. Die Positionierung funktioniert mit GPS-Signalen, diese aber können wegen eines schlecht funktionierenden Empfangsgeräts verrauscht oder aufgrund von Funklöchern unvollständig sein. Das Schiff hat Kurs auf den Heimathafen, aber aufgrund von Wellen und Strömungen wird das Schiff abgelenkt. Das Problem ist jetzt, die Position des Schiffes mittels des vorhandenen Datenmaterials zu berechnen, bzw. da eine genaue Berechnung aufgrund der ungenauen Daten nicht möglich ist, zu schätzen. In der Navigation sind neben dem Ort auch die Geschwindigkeit, die Beschleunigung und die Lage wichtig. Hier ist die Aufgabe, automatisch die Route zu berechnen, bzw. automatisch das Schiff zu seinem Ziel zu navigieren. Im Fall von Tracking will man die Position eines Objektes basierend auf Messdaten wie Winkel und Abstand bezüglich der eigenen Position berechnen. Das Objekt kann wieder ein Schiff, eine Unterwasserrakete oder eine feindliche Drohne in der Luft sein. Verwendet man billige Sensoren, kann es leicht sein, dass das Signal von schlechter Qualität bzw. verrauscht ist. Hier ist die Aufgabe, eine möglichst genaue Schätzung der Position des Objektes aufgrund der verrauschten Messungen zu berechnen. Beim nichtlinearen Filtern betrachtet man also zwei Prozesse, einen Signalprozess X , an den man interessiert ist, aber nicht sieht, und einen Prozess Y , den man beobachten kann und der vom Signalprozess abhängt. Um Messfehler und/oder zufällige Störungen zu modellieren, enthalten beide Prozesse ein so genanntes Rauschen, bzw. einen Gau- Prozess. Die Aufgabe beim nichtlinearen Filtern ist, so viel wie möglich über den Prozess X herauszufinden, wobei man nur den Prozess Y beobachten kann. Modelliert man ein Erdbeben, so hat der zugrunde liegende Prozess Sprünge. Oder, modelliert man das Klima, ist die Zeitskala des Rauschens viel schneller als die Zeitskala der dynamischen Prozesse, die das Klima bestimmen. Das wirkt sich dahingehend aus, dass man das Rauschen als Sprungprozess wahrnimmt. In der Finanzwelt werden Hochfrequenzdaten erfolgreich mit Sprungprozessen modelliert. Mit anderen Worten, es gibt viele Beispiele, wo das Gaußsche Rauschen durch einen Sprungprozess ersetzt wird. In diesem Projekt wurden Methoden zur Rekonstruktion nichtlinearen Filterns mit Sprungprozessen untersucht.