hp-FEM für Optimalsteuerungsprobleme

Zur Modellierung technischer Prozesse werden oftmals partielle Differentialgleichungen gebraucht. Hier ist es wichtig diese Prozesse und ihre Parameter zu optimieren. Diese Fragestellung fuehrt auf unendlich-dimensionale Optimierungsaufgaben. Diese werden meist noch mit Ungleichungsnebenbedingungen versehen, welche technische Limitierungen wie zum Beispiel Maximaltemperaturen abbilden. Solche Probleme koennen nicht mehr per Hand geloest werden. Deshalb ist es wichtig endlich-dimensionale Approximationen zu analysieren, die mithilfe von Computern geloest werden koennen. Dabei ist eine effiziente Diskretisierung von grosser Bedeutung, welche von der Zuhilfenahme von verfuegbaren Informationen ueber die Struktur der Loesung abhaengt. Die Loesungen von Optimierungsproblemen mit Ungleichungsnebenbedingungen koennen mithilfe sogenannter aktiver und inaktiver Mengen charakterisiert werden, d. h. Mengen auf den die Ungleichungen mit Gleichheit bzw. als strikte Ungleichung erfuellt sind. Beispielsweise sind im Falle von punktweisen Ungleichungen die Singularitaeten der Loesung auf die Raender der aktiven Mengen konzentriert. Das Projekt wird diese Strukturinformationen ausnutzen, um effiziente Diskretisierungsmethoden zu entwickeln. Der Schwerpunkt liegt dabei im Anwenden von Finite-Element Methoden hoeherer Ordnung. Eine Mischung aus a- priori und a-posteriori Methoden ist charakteristisch fuer das Projekt.

Im Projekt wurde die effiziente Lösung von Optimalsteuerungsproblemen bei partiellen Differentialgleichungen untersucht. Da diese Differentialgleichungen nicht exakt gelöst werden können, müssen endlich-dimensionale Approximationen - Diskretisierungen - betrachtet werden. Damit werden die Differentialgleichungen in nichtlineare Gleichungssysteme transformiert. Das dadurch entstehende diskrete Optimalsteuerungsproblem ist ein hochdimensionales Optimierungsproblem mit Gleichungs- und Ungleichungsnebenbedingungen. Hier ist es wichtig, maßgeschneiderte Losungskonzepte zu entwickeln, die die spezielle Struktur des Problems ausnutzen.Das Projekt konzentrierte sich auf eine spezielle Diskretisierungstechnik, die sogenannte hp-finite Element Methode. Die grundlegende Idee ist, dass die Lösung der partiellen Differentialgleichung durch stückweise definierte Polynome mit veränderlichem Grad approximiert wird. Wir untersuchten verschiedene Ausprägungen dieser Methode.Ein erster Punkt war die Untersuchung von rand- und grenzflächenkonzentrierten finite Element Methoden. Hier wird die Lösung des Problems in der Nähe des Randes durch Polynome niedrigen Grades auf kleinen Elementen approximiert. Das ist motiviert durch die Beobachtung, dass Ränder und Grenzflächen einen dominierenden Einfluss auf die Regularität der Losung haben. Wir konnten Konvergenzraten beweisen, die zeigen, dass d-dimensionale Problem mit der hp-Methode mit derselben Genauigkeit gelöst werden können wie Standarddiskretisierungen eines d ? 1-dimensionalen Problems.Ein zweiter wichtiger Teil war die Entwicklung adaptiver Verfeinerungstechniken. Dabei wird die Verfeinerung durch Eigenschaften der diskreten Lösung gesteuert. Die entwickelten Algorithmen wurden in einem Softwarepaket implementiert. Numerische Tests zeigen die gewünschte Verfeinerung sowie die erwarteten Konvergenzraten.Ein weiteres interessantes Resultat ist der Beweis der exponentiellen Konvergenz: Wir konnten zeigen, dass für eine spezielle, a-priori gewählte Diskretisierung der Diskretisierungsfehler exponentiell mit der Anzahl der Freiheitsgrade klein wird. Weiterhin wurden Lösungsverfahren entwickelt, die die entstehenden algebraischen Gleichungen in optimaler Komplexität lösen.