Verteilungseigenschaften von Quasi-Monte Carlo-Punktmengen

Dieses Forschungsprojekt beschäftigt sich mit der Untersuchung der Verteilungseigenschaften (hochdimensionaler) Punktmengen in Quasi-Monte Carlo-Algorithmen, welche häufig zur numerischen Integration verwendet werden. Der Erfolg dieser Algorithmen hängt zu einem beträchtlichen Anteil von den Verteilungseigenschaften einer zugrunde liegenden endlichen oder unendlichen Folge von Punkten in einem gegebenen Intervall, welches meist als der s-dimensionale Einheitswürfel angenommen wird, ab. Es ist bekannt, dass eine gleichmäßige Verteilung der Punktmengen, auf denen Quasi-Monte Carlo-Integrationsregeln basieren, sehr gute Resultate bezüglich des Integrationsfehlers impliziert. Aufgrund der großen Bedeutung von Quasi-Monte Carlo-Methoden und verwandten Algorithmen in Anwendungen, insbesondere der Finanzmathematik, war die Theorie der Gleichverteilung von Folgen während der vergangenen Jahrzehnte ein sehr aktives Gebiet der mathematischen Forschung mit zahlreichen Beiträgen von internationalen Forschungsgruppen. Unser Projekt wird die Forschungsarbeit an diesem Thema weiter fortsetzen und soll an jüngste Fortschritte in der Auffindung und Konstruktion von Punktmengen mit exzellenten Verteilungseigenschaften anknüpfen. Insbesondere widmet sich das Forschungsprojekt der Analyse von polynomialen Gitterpunkten, einer Teilklasse der (t,m,s)-Netze, und von hybriden Folgen, welche durch die Mischung der Komponenten verschiedener quasi- zufälliger Punktmengen entstehen. Darüber hinaus werden auch spezielle Punktmengen erforscht, die eigens dafür konstruiert werden, beste Verteilungseigenschaften und gleichzeitig eine relativ geringe Punktanzahl zu kombinieren. Das übergeordnete Ziel des Projektes ist, neue Resultate bezüglich verschiedener Formen der Diskrepanz, einer Messzahl zur Beurteilung der Verteilungsqualität von Folgen, der oben genannten Punktmengen zu erzielen. In unserem Projekt sollen sowohl obere als auch untere Diskrepanzschranken bewiesen werden. Unter den verschiedenen existierenden Formen der Diskrepanz werden die so genannte Sterndiskrepanz und die extreme Diskrepanz im Vordergrund stehen, aber auch andere Formen oder ähnliche mathematische Kenngrößen wie die Diaphonie sollen betrachtet werden. Das Projekt hat starke Bezüge zu Zahlentheorie, (linearer) Algebra, der Theorie der endlichen Körper, numerischer Integration, harmonischer Analyse sowie zur Theorie der Exponentialsummen.

Quasi-Monte Carlo (QMC) Methoden sind mathematische Algorithmen zur numerischen Berechnung komplizierter Integrale, die in verschiedenen mathematischen Gebieten, und auch in Anwendungen wie Finanzmathematik und Computergrafik, auftreten. QMC Algorithmen basieren oft auf gut verteilten Punktmengen, also Punkten, die in einem gegebenen Gebiet sehr gleichmäßig verteilt sind. In diesem Projekt wurden neue Resultate zu bestimmten Klassen dieser Punktmengen erzielt. Einerseits wurden neuartige gleichverteilte Punktmengen studiert, die als hybride Punktmengen bezeichnet werden. Diese sind eine Kombination von verschiedenen bereits bekannten QMC Punktmengen. Hybride Punktmengen fanden in den letzten Jahren viel Beachtung und könnten für Anwendungen von großer Relevanz sein. Außerdem wurden auch QMC Algorithmen betrachtet, die auf solchen gleichverteilten Punktmengen basieren, und es wurde erforscht, wie diese zur numerischen Integration und Approximation von Funktionen eingesetzt werden können. In diesem Zusammenhang beschäftigten wir uns mit Klassen von besonders glatten Funktionen, für die wir Algorithmen mit besonders kleinem Fehler finden konnten.