Methoden höherer Algebra für quasi-Monte-Carlo-Punktmengen

Quasi-Monte-Carlo(QMC) -Punktmengen sind algorithmisch produzierte Punktmengen, welche bestimmte Kriterien der Gleichverteilung erfüllen. Sie finden hauptsächlich Anwendung in der hochdimensionalen numerischen Integration, Optimierung und Simulation, dabei besonders in der Finanzmathematik (beispielsweise bei der Preisbewertung von Optionen). Ein großer Fortschritt in der Erstellung hochqualitativer Punktmengen wurde von Niederreiter und Xing erzielt, mit ihrer Einführung von Methoden höherer Algebra, insbesonders der algebraischen Funktionenkörper, in das Gebiet der Gleichverteilungstheorie. Wie aus Datenbanken und Tabellen von Qualitätsparametern ersichtlich wird, erzielen diese Methoden die derzeit besten Ergebnisse. Dennoch gibt es derzeit keine Computerimplementierung außer der des Antragstellers. Es ist ein Ziel dieses Projekts, das Angebot an Folgen, die sowohl durch erzeugende Matrizen als auch durch Computercode für Forschung und Anwendung erhältlich sind, zu erweitern. Zu diesem Zweck müssen nicht nur Werkzeuge wie Codebibliotheken zur Arithmetik in Funktionenkörpern erstellt werden, sondern auch theoretische Vorarbeiten und Untersuchungen durchgeführt werden. Eine weitere Art von QMC-Punktmengen sind gute Gitterpunkte (lattice rules). Mit den Arbeiten von Hlawka und Korobov liegt ihr Ursprung noch vor der Entwicklung der heute gebräuchlichen (t,s)-Folgen. Sie wurden inzwischen in verschiedener Weise verallgemeinert, u.A. auf Polynomgitter, erweiterbare Gitter und Gitter höheren Rangs (polynomial, extensible, higher rank lattice rules). Ihre Untersuchung geschah zunächst parallel zum Paradigma der Netze, aber mittlerweile gab es eine gewisse Konvergenz der Begriffe. In einem zweiten Teil des Projekts soll ein abstrakter Blickpunkt eingenommen werden um noch weitergehende Verallgemeinerungen hinsichtlich des Zugangs der Gitterpunkte zu ermöglichen, z.B. mittels algebraischer Funktionenkörper und letztlich noch abstrakterer Strukturen.

Quasi-Monte Carlo Methoden sind ein unverzichtbares Werkzeug in vielen wissenschaftlichen Bereichen, insbesonders wo es um die effiziente Auswertung hochdimensionaler Probleme geht, beispielsweise durch numerische Integration oder Optimierung. Unter diesen Methoden sind sogenannte digitale Folgen aufgrund ihrer Qualität besonders ausgezeichnet. In den letzten zwei Jahrzehnten sind viele Arbeiten erschienen, die Konstruktionen von digitalen Folgen mit theoretisch optimalen Fehlerschranken beschreiben. Diese Konstruktionen verwenden äußerst fortgeschrittene höhere Algebra und werden daher in der Praxis nur selten eingesetzt. - Ziel dieses Projekts war die Nutzbarmachung dieser Resultate für NichtspezialistInnen sowie die Bereitstellung von Material für im Bereich tätige ForscherInnen.Dazu wurden folgende Schritte unternommen: Zunächst wurden theoretische Resultate aus den erwähnten Arbeiten in eine explizite, nutzbare Form gebracht. Diese Teilergebnisse wurden auch in einer offen zugänglichen Datenbank (http://manypoints.org) eingebracht. Weiters wurden die in den Arbeiten dargestellten Konstruktions-Algorithmen in einem Computeralgebrasystem (Magma) implementiert. Mit diesen beiden Komponenten zusammen (explizite Daten und Algorithmen) wurden Generatormatrizen von digitalen Folgen erstellt. Diese Generatormatrizen können dann mittels bestehender Software von NutzerInnen in Anwendungen verwendet werden, ohne dass sie weitergehende Kenntnisse der zugrunde liegenden Techniken besitzen müssen.Sowohl die in Magma-Programmen codierten Algorithmen als auch die Generatormatrizen sind, neben weiteren Informationen, für InteressentInnen auf einer eigens bereitgestellten Web-Seite mit der Adresse http://sites.google.com/sites/isabelpirsic/P23285 offen zugänglich.