Ganzwertige Polynome

In diesem Projekt wollen drei Mathematiker - Sophie Frisch, Guido Peruginelli und die Doktorandin Roswitha Rissner - an der TU Graz Forschung über ganzwertige Polynome treiben und gleichzeitig Methoden aus der Zahlentheorie und der Ringtheorie, die sie anwenden, weiterentwickeln. Ein ganzwertiges Polynom ist ein Polynom (in einer oder in mehreren Variablen) mit rationalen Koeffizienten, das ganzzahlige Werte annimmt, wann immer ganze Zahlen für die Variablen eingesetzt werden. Allgemeiner betrachtet man Polynome mit Koeffizienten im Quotientenkörper K eines Integritätsbereichs D, welche Werte in D annehmen, wenn man Elemente aus D für die Variablen einsetzt. Ringe von ganzwertigen Polynomen haben sowohl ringtheoretisch als auch zahlentheoretisch interessante Eigenschaften. Für einigermaßen brave Integritätsbereiche D (inklusive der Ringe ganzer Zahlen in Zahlkörpern) ist der Ring der ganzwertigen Polynome ein Prüfer Ring, und man kann man mit ganzwertigen Polynomen beliebige Funktionen von D^n nach D interpolieren. Auch erfüllt der Ring der ganzwertigen Polynome ein Analogon des Hilbertschen Nullstellensatzes. Im aktuellen Projekt soll erstens das Potential ganzwertiger Polynome zur Parametrisierung der ganzzahligen Lösungen Diophantischer Gleichungen erforscht werden. Zwei der Beteiligten haben schon Vorarbeiten geleistet und z.B. gezeigt, dass man die ganzzahligen Pythagoräischen Tripel mit einem einzigen Tripel ganzwertiger Polynome parametrisieren kann, während eine Parametrisierung durch Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten mindestens zwei Tripel benötigt. Zweitens sollen in diesem Projekt Ringe von ganzwertigen Polynomen auf Algebren untersucht werden, z.B. der Ring jener Polynome (in einer Variable) mit rationalen Koeffizienten, die jede ganzzahlige n mal n Matrix auf eine ganzzahlige Matrix abbilden.

Ganzwertige Polynome im klassischen Sinn sind Polynome mit rationalen Koeffizienten, die ganze Zahlen wieder auf ganze Zahlen abbilden. Bereits im 17. Jahrhundert verwendete Newton diese Polynome zur Interpolation von Funktionen. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts entdeckten Plya, Ostrowski and Skolem ihre Rolle in der Zahlentheorie. Darüber hinaus haben ganzwertige Polynome interessante algebraische und zahlentheoretische Eigenschaften. Sie erfüllen, zum Beispiel, eine p-adische Variante der Stone-Weierstrass Eigenschaft und sind daher für die Approximation von Funktionen gut geeignet. Sie erfüllen auch die sogenannten Skolem-Eigenschaften, das sind Analoga des Hilbertschen Nullstellensatz. Als Forscherinnen und Forscher dieses Projektes arbeiten wir, Sophie Frisch, Giulio Peruginelli and Roswitha Rissner, an ganzwertigen Polynomen auf allgemeinen Bereichen. Wir konnten die Lücke zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Skolem-Eigenschaften beinahe vollständig schließen, der erste Fortschritt in dieser, seit Jahrzehnten offenen, Frage. Wir sind auch unter den ersten, die ganzwertige Polynome auf Matrizenringen und allgemeinen Algebren erforschen. Wir konnten zeigen, dass ganzwertige Polynome mit Koeffizienten in einer nicht-kommutativen Matrixalgebra sich als Matrizen ausdrücken lassen, deren Einträge Polynome mit Koeffizienten aus einem kommutativen Ring sind. Im Spezialfall von oberen Dreiecksmatrizen stimmen die ganzwertige Polynome mit jenen Polynomen überein, deren dividierte Differenzen bis zur n-ten Ordnung ganzwertig sind. Diese Polynome wurden auch von Bhargava in der Theorie der Banachräumen der auf kompakten Teilräumen lokaler Körper n-fach stetig differenzierbaren, Funktionen angewandt. Wir konnten auch einige andere zahlentheoretische und ringtheoretische Ergebnisse beweisen, die Faktorisierungen, Überringe und die Prüfer-Eigenschaft von ganzwertigen Polynome betreffen.