Cartan Geometrien und Differentialgleichungen

Cartan Geometrien bilden ein allgemeines Konzept zur Beschreibung gewisser geometrischer Strukturen im Sinne der Differentialgeometrie. Grundlage für eine Cartan Geometrie ist ein homogenes Modell, welches die Instanz der Struktur mit den meisten Symmetrien darstellt. Ein wichtiger Spezialfall von Cartan Geometrien sind parabolische Geometrien in denen das homogene Modell der Quotient einer halbeinfachen Lie Gruppe nach einer parabolischen Untergruppe ist. Diese Klasse enthält einerseits einige der wichtigsten Beispiele von Cartan Geometrien, etwa jene die äquivalent zu konformen Strukturen, projektiven Strukturen, CR Strukturen vom Hyperflächentyp und zu quaternionischen Kontaktstrukturen sind. Dies liefert Bezüge zu anderen Teilgebieten der Mathematik und, insbesondere über die konforme Geometrie und die AdS/CFT Korrespondenz, auch zu theoretischer Physik. Anderseits liefert im Fall der parabolischen Geometrien die Darstellungstheorie halbeinfacher Lie Algebren wichtige Hilfsmittel, durch die starke allgemeine Resultate bewiesen werden können. Parabolische Geometrien wurden in den letzten Jahren intensiv studiert, was auch zu Resultaten für allgemeine Cartan Geometrien geführt hat. Im Rahmen des Projekts werden Cartan Geometrien und insbesondere parabolische Geometrien und Ihre Verbindung zu partiellen Differentialgleichungen studiert, wobei es zwei wichtige Anknüpfungspunkte zwischen den beiden Gebieten gibt. Einerseits gibt es zu jeder geometrischen Struktur den Begriff von invarianten Differentialoperatoren, das sind Differentialoperatoren, die in natürlicher Weise aus der Geometrie entstehen, und den entsprechenden Differentialgleichungen. Existenz von Lösungen (oder von speziellen Lösungen) mancher dieser Gleichungen liefert interessante geometrische Bedingungen an die unterliegenden Strukturen. Damit stellt das Studium invarianter Differentialoperatoren einen wichtigen Teil der Theorie der Cartan Geometrien und insbesondere der parabolischen Geometrien dar. Andererseits gibt es auch das klassische Konzept der geometrischen Theorie von Differentialgleichungen. Hier beschreibt man eine beliebige gegebene Differentialgleichung äquivalent durch eine geometrische Struktur. Eigenschaften dieser Struktur liefern dann Informationen über die Gleichung, die automatisch unabhängig von der Wahl von Koordinaten oder Ähnlichem sind. In vielen Interessanten Fällen kann diese geometrische Struktur äquivalent durch eine Cartan Geometrie oder sogar eine parabolische Geometrie beschrieben werden. Für parabolische Geometrien liefern die Technik der Bernstein-Gelfand-Gelfand Sequenzen viele Beispiele invarianter Differentialoperatoren. Insbesondere liefert sie auch überbestimmte invariante Differentialgleichungen, bei denen die Existenz von Lösungen eine interessante Einschränkung an die Geometrie darstellt. In den letzten Jahren wurde für diese Gleichungen eine Beschreibung der Lösungen durch parallele Schnitte einer natürlichen Konnexion gefunden, die einen hervorragenden Ausgangspunkt für das Studium dieser Gleichungen darstellt. Ein Spezialfall dieser Gleichungen führt zum Studium von Automorphismen parabolischer Geometrien. Hier sollen weitere Resultate mit Hilfe von Methoden der Dynamik gewonnen werden. Ein zweiter Schwerpunkt des Projekts liegt in den Anwendungen der Methoden der Cartan Geometrien und insbesondere der parabolischen Geometrien die geometrische Theorie von Differentialgleichungen. Hier gab es in den letzten Jahren neue Fortschritte bei klassischen Problemen (etwa bei Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen oder bei der Theorie einer einzelnen partiellen Differentialgleichung in zwei Variablen) die auf die Anwendbarkeit dieser Methoden schließen lassen. Ein weiteres wichtiges Ziel des Projekts stellt das Studium von Teilgeometrien von parabolischen Geometrien dar, für das eine Verallgemeinerung der Bernstein-Gelfand-Gelfand Sequenzen Verwendung finden soll. Resultate in dieser Richtung können einerseits auf das Geometrische Studium von Differentialgleichungen angewendet werden. Andererseits gibt es sehr interessante Verbindungen zu Resultaten für spezielle Typen von parabolischen Geometrien, etwa zu Starrheitssätzen für Einbettungen zwischen CR Mannigfaltigkeiten vom Hyperflächentyp.

Das Projekt behandelte ein international aktives Teilgebiet der reinen Mathematik. Hauptthema waren Wechselwirkungen zwischen geometrischen Strukturen im Sinne der Differentialgeometrie und Differentialgleichungen. Die betrachteten geometrischen Strukturen waren Cartan-Geometrien und insbesondere parabolische Geometrien, die eine breite Klasse auf den ersten Blick sehr verschiedenartiger Strukturen darstellen, aber über ein gewisses Konzept von Symmetrie eine einheitliche mathematische Beschreibung erlauben. Über das sogenannte homogene Modell gibt es für jede Cartan-Geometrie einen Bezug zu Geometrie im klassischen Sinn und damit zur Gruppentheorie. Andererseits kann man jeder dieser Geometrien in natürlicher Weise Differentialgleichungen zuordnen. Im Fall des homogenen Modells kann man diese Differentialgleichungen und ihre Lösungen sehr gut verstehen. Grundthemen der Forschung in diesem Gebiet sind einerseits die Verbindung zwischen allgemeinen Geometrien und dem homogenen Modell, und andererseits das Wechselspiel zwischen geometrischen Eigenschaften (etwa Existenz zusätzlicher Symmetrien) und Eigenschaften der geometrischen Differentialgleichungen. Hauptergebnis des Projekts war die Entwicklung einer Holonomie-Theorie für Cartan-Geometrien, die diese Zusammenhänge in vielen Situationen erklärt. Zusätzlich liefert diese Theorie in vielen Situationen konzeptuelle Verträglichkeitsbedingungen für Geometrien auf Räumen verschiedener Dimensionen, die für verschiedene Teilgebiete der Mathematik (etwa Streutheorie) und der theoretischen Physik (etwa allgemeine Relativitätstheorie) sehr nützlich werden könnten. Schließlich liefern Holonomie-Reduktionen von parabolischen Geometrien auch noch verschiedene Bezüge zu einfacheren Klassen von geometrischen Strukturen, die intensiv studiert werden. Beispielsweise erhält man über Einstein-Metriken einen Bezug zur Riemann-Geometrie.