Wurzelparametrisierungen von algebraischen Kurven

Eine algebraische Kurve besitzt bekanntlich dann und nur dann eine rationale Parametrisierung, wenn ihr Geschlecht gleich Null ist. Ziel dieses Projekts ist es, eine allgemeinere Klasse von Kurven zu analysieren: jene, die eine Parametrisierung durch Radikale besitzen, d. h. eine Parametrisierung bestehend aus Körperoperationen und Wurzeln. Diese Klasse ist bedeutend größer als die obige: Sie enthält alle elliptischen und hyperelliptischen Kurven, es gibt also Kurven beliebigen Geschlechts, welche eine Wurzelparametrisierung zulassen. Unser Zugang zu dieser Fragestellung ist ein algorithmischer Standpunkt. Mit anderen Worten, unser Ziel ist die Entwicklung der bestmöglichen Algorithmen zur Entscheidung, ob eine Kurve durch Radikale parametrisiert werden kann, und zur Berechnung von einer/aller/der bestmöglichen solchen Parametrisierung. Natürlich setzt dieses Ziel theoretische Forschungen über strukturelle Fragen voraus, wie etwa die Frage nach einer angemessenen Definition einer "besseren Parametrisierung", oder die Frage nach der Beschaffenheit der Klasse aller Wurzelparametrisierungen einer Kurve, etc. Diese Fragen gehen zurück auf Zariski.

Eine algebraische Kurve besitzt bekanntlich dann und nur dann eine rationale Parametrisierung, wenn ihr Geschlecht gleich Null ist. Ziel dieses Projekts ist es, eine allgemeinere Klasse von Kurven zu analysieren: jene, die eine Parametrisierung durch Radikale besitzen, d.h. eine Parametrisierung bestehend aus Körperoperationen und Wurzeln. Diese Klasse ist bedeutend grösser als die obige: Sie enthält alle elliptischen und hyperelliptischen Kurven, es gibt also Kurven beliebigen Geschlechts, welche eine Wurzelparametrisierung zulassen.Eine Möglichkeit, Wurzelparametrisierungen zu finden, ist es, von einer k : 1-Abbildung der Kurve auf eine Gerade auszugehen, wobei die Zahl k so klein wie möglich sein soll (die minimale Zahl k wird auch Gonalität der Kurve genannt). Wenn k ? 4 ist, dann können Wurzelparametrisierungen mittels der klassischen Formeln von Cardano/Ferrari hergestellt werden. Als ein Resultat dieses Projekts besitzen wir nun einen effizienten Algorithmus, der entscheidet, ob die Gonalität kleiner oder gleich 4 ist, und im affirmativen Fall eine Wurzelparametrisierung berechnet.Weitere Konstruktionen verwenden Adjunktionstheorie. Eine Konstruktionen und theoretische Konzepte lassen sich verallgemeinern auf Flächen und 3-Mannigfaltigkeiten, allerdings gibt es dort auch neuartige Phänomene.