Variationsmethoden höherer Ordnung in der Computer Vision

Dieser Projektantrag widmet sich konvexer Variationsmethoden höherer Ordnung mit Anwendungen in der Computer Vision. Konvexe Variationsmethoden erster Ordnung, d.h. Methoden die lediglich auf ersten Ableitungen basieren, wurden in der Vergangenheit erfolgrecih bei der Lösung von inversen Computer Vision Problemen eingesetzt. Dieser Erfolg ist größtenteils auf die 1992 von Rudin, Osher und Fatemi vorgestellte Total Variation Methode zurückzuführen. Die wichtigste Eigenschaft der Total Variation Methode ist ihre Fähigkeit scharfe Diskontinuitäten in der Lösung zu erhalten, während das damit verbundene Optimierungsproblem immer noch konvex ist. Dies führt zu sehr robusten Lösungen, welche unabhängig von der Initialisierung sind. Neben den genannten Vorteilen, bringen Total Variation Methoden auch einige Nachteile mit sich. Einerseits favorisieren Total Variation Methoden stückweise konstante Lösungen, was zu Staircasing Artefakten bei der Bildrestaurierung und zu der Präferenz von frontoparallen Struktutren bei Stereo Problemen führt. Andererseits induzieren Total Variation Methoden einen Shrinking-Bias bei der Optimierung von Formen. Der Zweck dieses Projekts ist die Erforschung konvexer Variationsmethoden mit Regularisierung höherer Ordnung, um die Defizite der Methode erster Ordnung zu verbessern. Hierfür schalgen wir vor, zwei Ansätze genauer zu untersuchen. Der ersten Ansatz beruht auf der sogenannten Generalized Total Variation Methode, welche vor kurzem von Bredies, Kunisch und Pock vorgestellt wurde. Diese Methode erlaubt mit Hilfe eines konvexen Funktionals das Berechnen von stückweise polynomiellen Funktionen. Wir erwarten, dass diese Methode zu signifikanten Verbesserungen von Stereo- und Bewegungsschätzungs-Problemen führt. Der zweite Anstaz beruht auf dem sogenannten Roto- Translation Space, welcher 2006 von Citti und Sarti vorgeschlagen wurde. Diese Methode erlaubt es, auf Krümmung basierende Funktionale in ein höher-dimensionalen Funktional erster Ordnung umzuschreiben. Auch hier erwarten wir, dass dieser Ansatz zu deutlichen Verbesserungen von verschienen Formoptimierungs-Problemen führt.

Dieses Projekt hat sich mit sogenannten Variationsmethoden höherer Ordnung in der Computer Vision beschäftigt. Variationsmethoden versuchen Probleme des maschinellen Sehens als Optimierungsproblem darzustellen, d.h. es wird jene Lösung des Problems gesucht, welche den geringstmöglichen Wert einer zu definierenden Kostenfunktion erreicht. Die Kunst dabei ist es, die Kostenfunktion also das Variationsmodell so zu gestalten, dass die physikalischen Eigenschaften der dreidimensionalen Welt möglichst genau nachgebildet werden. Um dies zu erreichen, wurden in diesem Projekt Variationsmodelle höherer Ordnung untersucht, wobei sich die Ordnung der Methode auf den Grad der Regularität der Lösung bezieht. In dem Projekt wurden im Grunde zwei unterschiedliche Variationsmodelle untersucht:Das erste Modell basiert auf der sogenannten generalisierten Totalvariation. Diese erlaubt es mit Hilfe eines konvexen Kostenfunktionals, stückweise polynomielle Funktionen zu rekonstruieren. Dieses Modell wurde so erweitert, dass es für Probleme der 3D Rekonstruktion verwendet werden kann, wie beispielsweise für die Fahrerassistenz sowie bei Lichtfeldkameras. Es hat sich gezeigt, dass die Modelle höherer Ordnung im Vergleich zu herkömmlichen Methoden erster Ordnung zu einer deutlich besseren Rekonstruktionsgenauigkeit führen.Das zweite Modell ist vom menschlichen visuellen System inspiriert. Dabei wird ein 2D Bild in einem 3D Raum so eingebettet, dass die 3. Dimension der Orientierung der lokalen Bildstruktur entspricht. Dies hat den großen Vorteil, dass bestimmte Probleme höherer Ordnung als Probleme erster Ordnung dargestellt werden können. Wir konnten z.B. zeigen, dass sich einige als sehr schwierig betrachtete Probleme der Krümmungsminimierung in Bildern als konvexe Optimierungsprobleme darstellen können, wodurch eine exakte und effiziente Lösung ermöglicht wird.Zusammengefasst kann gesagt werden, dass die gesteckten Ziele des Projekts klar erreicht, und sogar übertroffen wurden. Viele Ergebnisse des Projekts wurden bereits bei facheinschlägigen Tagungen und Journals publiziert.