Optimierung von Dividendenzahlungen

2 Hauptziele von Versicherungsunternehmen sind, einerseits ihre Dividendenauszahlungen zu maximieren, und andererseits, der konservativere Ansatz, die Ruinwahrscheinlichkeit des Unternehmens möglichst gering zu halten. Beide Ansätze können mittlerweile als klassisch betrachtet werden. Der Ruinwahrscheinlichkeitsansatz geht auf F. Lundberg zurück, der zu Beginn des 20. Jahrhunderts seine berühmte Ungleichung formulierte. Diese besagt, dass unter bestimmten Modellvoraussetzungen, die Ruinwahrscheinlichkeit eines Versicherungs-unternehmens durch eine exponentiell fallende Funktion nach oben abgeschätzt werden kann, wobei diese Funktion eine Funktion des Anfangsvermögens ist. Der Dividendenansatz geht auf das berühmte paper von B. De Finetti aus dem Jahre 1957 zurück. In dieser Arbeit kritisiert er den Ruinwahrscheinlichkeitsansatz als zu konservativ und schlägt statt dessen vor, die erwarteten abgezinsten Dividendenzahlungen eines Unter-nehmens zu maximieren. Er zeigt in derselben Arbeit, dass, falls man einen einfachen "random walk" als Modell für das Vermögen des Unternehmens ansetzt, die Verwendung einer sogenannten Barrierestrategie optimal ist. Dabei wird sämtliches Vermögen, das oberhalb einer bestimmten zeitunabhängigen Schranke liegt, als Dividende ausbezahlt. Es gibt mittlerweile zahlreiche Modifikationen und Verallgemeinerungen für beide Ansätze in der versicherungsmathematischen Fachliteratur. Ziel des Projektes ist es, zu beiden Ansätzen neue Resultate beizutragen. Unsere Forschung soll sich auf die folgenden 3 Hauptpunkte konzentrieren. 1.) Es scheint ein offenes Problem zu sein, welches die optimale Strategie für ein Unternehmen ist, das die erwarteten abgezinsten Dividenden in endlicher Zeit maximieren will. Als Modell für den Vermögensverlauf des Versicherers soll hier die sogenannte Diffusionsapproximation verwendet werden. Für dasselbe Problem mit unendlichem Zeithorizont ist die Lösung wohlbekannt. Es handelt sich, ähnlich wie im klassischen de Finetti Resultat, um eine Barrierestrategie. Wir vermuten, dass die Lösung auch im Fall eines endlichen Zeithorizontes eine Barrierestrategie ist, wobei diesmal aber die Barrierefunktion zeitabhängig ist. Vermutlich wird die Lösung über ein sogenanntes freies Randwertproblem führen. 2.) Ein Möglichkeit zur Modifikation des klassichen de Finettis Ansatzes ist die Verwendung von Nutzenfunktionen. Wir wollen folgendes Problem untersuchen: Maximiere den erwarteten Nutzen von abgezinsten Dividendenauszahlungen. Dabei soll wieder eine Diffusionsapproximation für das Vermögen verwendet werden, wobei der Zeithorizont jetzt aber ein unendlicher ist. Es gibt in der Literatur bereits eine Arbeit des Projektleiters (mit einigen Koautoren) zu diesem Thema. Diese Arbeit ist aber insofern unvollständig, da ein Existenzresultat für die Barrierefunktion fehlt. Ziel ist es nun, diese Lücke zu schließen, wobei ein neues Resultat des Projektleiters über Integralgleichungen verwendet werden soll. 3.) Schließlich wollen wir auch in Richtung Optimierung von Ruinwahr- scheinlichkeiten arbeiten. In den letzten Jahren ist die Untersuchung von Ruin- wahrscheinlichkeiten von Unternehmen, die in den Aktienmarkt investieren ein sehr aktuelles (und praxisrelevantes) Gebiet. Wir wollen uns dabei auf den sogenannten Großschadenfall konzentrieren, der dann vorliegt, wenn die Verteilungsfunktion der Einzelschäden kein exponentielles Moment besitzt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit von sehr großen Schäden nicht mehr vernachlässigbar gering ist. Natürlich ist das für Versicherungsunternehmen ein wichtiger Fall. Ziel ist es, Aussagen über die Asymptotik (für sehr hohes Vermögen) der optimalen Investmentstrategie zu machen, falls die Verteilungen der Einzelschadenhöhen in einer Unterklasse der sogenannten subexponentiellen Klasse liegen. Die Klasse der subexponentiellen Verteilungen wird als wichtigste Klasse von Verteilungen mit schweren Enden angesehen. Wir beantragen die Finanzierung einer PostDoc Stelle für den Zeitraum von 3 Jahren.

In dem Projekt P 22449-N18 betrachten wir das Problem der Maximierung der Dividendenzahlungen, bzw. des Konsums bei einem Versicherungsunternehmen bzw. in einem Haushalt.Stellen Sie sich nur vor, Sie sind Vorstandsmitglied einer groß en Versicherungsgesellschaft und müssen entscheiden, welcher Anteil des Gewinns an die Aktionäre ausbezahlt wird.Warum ist es überhaupt sinnvoll die Dividenden auszuzahlen?Gibt man diese Frage bei Google ein, so findet man eine Menge Referenzen. Eines der Pro-Argumente sieht die Dividendenausschüttung als eine Art Indikator für die finanzielle Gesundheit des betrachteten Unternehmens.Die Logik dabei ist die folgende: Ist das Unternehmen in der Lage hohe Dividenden zu zahlen, dann ist es ein Signal für Investoren, ihre Investitionsaktivität zu intensivieren.Wollen wir die Dividendenzahlungen maximieren, so müssen wir zuerst den Überschuss des betrachteten Versicherungsunternehmens mit Hilfe eines stochastischen Prozesses modellieren.Stochastizität der Prozesse spiegelt die unvorhersehbaren Konjunkturschwankungen wider. Als Beispiele für solche Veränderungen können makroökonomische Marktänderungen, aber auch mikroökonomische Inflations- oder Steuerrisiken genannt werden.Mit den Methoden aus der optimalen Kontrolltheorie suchen wir eine Dividendenstrategie, die den erwarteten Wert der diskontierten Dividenden maximiert.Beachten Sie, dass die Dividendenstrategien von der Zeit und vom Anfangskapital abhängen.Oft ist aber ein absoluter Geldbetrag nicht besonders informativ. Deshalb betrachten wir auch den Nutzen, den ein Versicherungsunternehmen aus den erwarteten Dividendenzahlungen ziehen kann.Andererseits, wenn wir eine Person oder einen Haushalt betrachten, ist es manchmal nicht sinnvoll, die Überschüsse durch einen stochastischen Prozess zu modellieren. In vielen Fällen, weiß ein Individuum im Voraus, wie sich ihr/sein Gehalt in einem fixierten Zeitraum entwickeln wird. Die Schwankungen im Gehalt können sich als sehr kompliziert erweisen, doch bleiben sie immer vorhersehbar.In diesem Fall können wir nicht von Dividendenmaximierung sprechen, sondern von Konsummaximierung. Trotz der Komplexität des Problems kann das optimale Konsumverhalten in Abhängigkeit von der Einkommensfunktion bestimmt werden.