Minkowski Bewertungen und geometrische Ungleichungen

Als eine Verallgemeinerung des Maßbegriffes haben Bewertungen auf konvexen Körpern schon immer eine wichtige Rolle in der Geometrie gespielt. Eine besonders interessante neue Forschungsrichtung in der Theorie der Bewertungen nutzt die starken Verbindungen von körperwertigen Bewertungen zur Theorie der affin- isoperimetrischen und analytischen Ungleichungen aus. Viele fundamentale affin-isoperimetrische Ungleichungen involvieren Minkowski Bewertungen, die mit linearen Abbildungen verträglich sind. Obwohl sich ein großer Teil der Theorie körperwertiger Bewertungen mit solchen Operatoren beschäftigt, wurden in den letzten Jahren große Anstrengungen unternommen, um auch stetige Minkowski Bewertungen, die mit Bewegungen des Raumes verträglich sind, zu klassifizieren. Diese Resultate fanden wiederum Anwendungen für gewisse Brunn-Minkowski Ungleichungen, die für größere Klassen von Bewertungen, welche äquivariant bezüglich orthogonaler Transformationen sind, Gültigkeit besitzen. Ein Ziel dieses Projekts ist es, weiter aufzuklären, welche der klassischen affin-geometrischen Ungleichungen auf Funktionale verallgemeinert werden können, die sich von Minkowski Bewertungen ableiten, welche nur mit orthogonalen Transformationen verträglich sind. Analytische Beschreibungen dieser Bewertungen werden dabei eine Schlüsselrolle spielen. Die Theorie der Bewertungen ist eng verknüpft mit der Brunn-Minkowski Theorie konvexer Körper, welche durch die Verbindung von Minkowski Addition mit dem gewöhnlichen Volumen entsteht. Vor etwa 20 Jahren hat die Verbindung der Minkowski-Firey Lp Addition mit dem Volumen zu einer neuen Lp Brunn-Minkowski Theorie geführt, welche ebenfalls starke Beziehungen zur Theorie der Bewertungen aufgebaut hat. So wurde etwa ein Lp Analogon des klassischen Projektionenkörpers eingeführt und eine wichtige Lp Erweiterung einer der fundamentalen affin-isoperimetrischen Ungleichungen, der Petty Projektionenungleichung, bewiesen. Diese Erweiterung stellt den geometrischen Kern einer scharfen affinen Lp Sobolev Ungleichung dar, welche die klassische Lp Sobolev Ungleichung verschärft. Fortschritte im Bereich der Theorie der Bewertungen haben allerdings gezeigt, dass der Lp Projektionenkörper nur einen Vertreter einer ganzen Familie von Lp Erweiterungen des klassischen Projektionenkörpers darstellt. Dieses wichtige Resultat hat wiederum vor kurzem zu einer weiteren Verallgemeinerung von Pettys Projektionen-ungleichung und einer neuen asymmetrischen affinen Lp Sobolev Ungleichung geführt. Die wohlbekannte Äquivalenz der isoperimetrischen Ungleichung und der scharfen Sobolev Ungleichung ist ein wichtiges Beispiel des Zusammenspiels analytischer und geometrischer Ungleichungen. Diese bemerkenswerte Verbindung wurde weiter unterstrichen durch die jüngsten Arbeiten zu affin-analytischen Ungleichungen. Eines der Ziele dieses Projekts ist es, diese starken Beziehungen weiter auszunutzen, um neue affine log-Sobolev und Gagliardo-Nirenberg Ungleichungen zu beweisen.

Die log-Konkavität des Volumenfunktionals wird durch die Brunn-Minkowski Ungleichung ausgedrückt. Sie impliziert darüber hinaus direkt die klassische Euklidische isoperimetrische Ungleichung. In der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts wurde gezeigt, dass eine affine Projektionenungleichung von Petty für Minkowskis Projektionenkörper nicht nur stärker als die isoperimetrische Ungleichung ist, sondern eine optimale Version davon darstellt. Die spezielle Rolle von Pettys Projektionenungleichung wurde erst vor kurzem aufgedeckt, durch die Charakterisierung der Projektionenkörper-Abbildung als eindeutige Bewertung mit Werten in den konvexen Körpern, welche kontravariant in Bezug auf Lineartransformationen ist.Als Verallgemeinerung von Maßen stehen reellwertige Bewertungen seit langem im Zentrum der Konvexgeometrie. Minkowski Bewertungen, d.h. Bewertungen mit Werten im Raum der konvexen Körper versehen mit der Minkowski Addition, sind neueren Ursprungs. Ein Hauptanliegen dieses Forschungsprojekts war es ein tieferes Verständnis solcher Bewertungen zu erlangen, die entweder kompatibel mit linearen Abbildungen oder vertraglich mit der Euklidischen Bewegungsgruppe sind. In beiden Fällen haben neue Klassifikationsresultate nicht nur unser Verständnis für die kennzeichnenden Eigenschaften klassischer Operatoren verbessert, sondern auch zur Entdeckung neuer Bewertungen geführt. Im Fall von Minkowski Bewertungen, die mit den Bewegungen des Raumes verträglich sind, wurde der Grundstein für eine Strukturtheorie gelegt, welche in den nächsten Jahren weiter ausgearbeitet werden soll.Die gezeigten Charakterisierungssätze für Minkowski Bewertungen spielten außerdem eine Schlüsselrolle im Beweis neuer sowie der Verschärfung klassischer geometrischer Ungleichungen. Dabei wurde einerseits klar, dass verschiedene wohlbekannte Ungleichungen in größerer Allgemeinheit gelten, und andererseits wurde die Stärke affiner Ungleichungen im Vergleich zu ihren Euklidischen Gegenstücken weiter beleuchtet. So wurde etwa gezeigt, dass die log-Konkavität innerer Volumina und der inneren Volumina von Projektionenkörpern eine Eigenschaft aller Minkowski Bewertungen, die mit der Bewegungsgruppe verträglich sind, ist; eine asymmetrische Version der Lp Petty Projektionenungleichung wurde verwendet, um ein neues affines Plya-Szegö Prinzip herzuleiten, welches einfache Beweise affiner Sobolev und log-Sobolev Ungleichungen ermöglicht. Darüber hinaus wurden umgekehrte isoperimetrische Ungleichungen für Wulff-Körper bewiesen, welche die gefeierten Ball-Barthe Ungleichungen für Volumenverhältnisse verallgemeinern.