Elektromagnetische Streuung an komplexen Interfaces

: Streuprobleme und Randwertprobleme für komplexe Interfaces haben ihren Ursprung in mindestens zwei unterschiedlichen Gebieten: I. Sie basieren auf approximativen Modellen für durchdringliche Objekte, wobei das Material im Inneren hoch reflektierend und nur schwach absorbierend ist. Dadurch können die Übergangsbedingungen entlang des Randes des Objekts durch Oberflächen-impedanzrandbedingungen ersetzt werden. II. Künstliche Materialien, die entlang der Oberfläche des Objekts verteilt sind, werden verwendet um eine erhöhte (oder verminderte) Streuung zu erreichen. Diese Situation wird durch entsprechende Parameter in einer modifizierten Übergangsbedingung modelliert. Ein komplexes Interface ist durch seinen Ort, seine Geometrie, das Material und dessen Verteilung charakterisiert. Wir sind daran interessiert, Inverse Probleme, die in den zwei beschriebenen Situationen bei einigen Modellen im Zusammenhang mit Maxwell Systemen auftreten, zu untersuchen. Eine grobe Unterteilung unserer Untersuchungen in zwei zusammenhängende Fragestellungen sieht folgendermaßen aus: a) Inverse Probleme: Hier sind Daten aus äußeren Messungen (Rand- oder Streufeldmessungen) gegeben, und unser Ziel ist es, das unbekannte komplexe Interface zu rekonstruieren. b) Design Probleme: Hier kennt man das Objekt (bzw. seine Form) und das Ziel ist es, ein Design zu finden, sodass das Objekt mehr (oder weniger) sichtbar gegenüber äußeren Messungen wird. Uns interessiert vor allem das Design von Oberflächen- oder Objektbeschichtungen. Insbesondere wollen wir verstehen und erklären, bis zu welchem Grad schon bekannte Methoden (z.B. Sampling, Probing und der Music Algorithmus) in der Praxis genau sind. Um diese Fragestellung zu untersuchen, schlagen wir die Verwendung von asymptotischen Entwicklungen der entsprechenden Indikatorfunktionen in Bezug auf verwendeten Punktquellen vor. Genauer gesagt, wollen wir qualitative Information über das Verhalten der oben genannten Methoden finden und diese mit den Parametern des komplexen Interfaces (d.h. Geometrie und Materialverteilung) in Beziehung bringen. Diese Relation wird Antworten auf die Fragestellungen in a) und b) liefern. Die Methode der asymptotischen Entwicklungen benötigt ein hinreichend glattes komplexes Interface. Um auch den Fall von Interfaces mit weniger Glattheit (z.B. lipschitzstetiger Rand und nur beschränkte Oberflächenkoeffizienten) behandeln zu können, schlagen wir einen weiteren Zugang vor, der Schichtpotentialtechniken verwendet, um das Inverse Problem auf invertierbare Integralgleichungen am Rand des Interfaces zurückzuführen.

Das primäre Ziel dieses Projekts bestand in der Lokalisierung und Charakterisierung von versteckten (oder unzugänglichen) Objekten durch Fernmessungen von reflektierten Signalen (oder Reaktionen) dieser Objekte nach Anregung durch eingesandte Wellen. Es wurden sowohl akustische, elastische als auch elektromagnetische Wellen betrachtet. Der Fokus lag in der Entwicklung und Verwendung von sogenannten direkten Methoden. Diese Methoden liefern einen direkten Zusammenhang zwischen den gemessenen Signalen und bestimmten geometrischen (z.B. die Form) und materiellen (z.B. die Ränder zwischen verschiedenen Materialien) Eigenschaften der unbekannten Objekte. Das heißt, dass einige dieser Eigenschaften direkt aus den Signalen abgelesen werden können. Die entwickelten Methoden sind mathematisch fundiert und quantifiziert worden. Die Resultate können in folgenden Gebieten angewandt werden.In der medizinische Bildgebung: die Lokalisierung und Größenschätzung von frühen (oder auch die Geometrie von entwickelten) Tumoren, wie zum Beispiel Brusttumoren, mittels Messung von elektrischen Signalen auf der Haut. Geologische Prospektion: insbesondere die Verwendung von akustischen oder elastischen (seismischen) Wellen zum Aufspüren von Rohstofflagerstätten (z.B. Öl, Gas) und für die Klassifizierung von Sedimenten in der Geologie. Materialwissenschaften: 1) Das Auffinden von Defekten in Materialien (z.B. Risse in Brücken, Gebäuden, etc.). 2). Die Entwicklung von Materialien mit vorgegebenen Reflexionseigenschaften, wie zum Beispiel Refraktionsindex, Permeabilität oder Permittivität. Einige herausragende mathematische Ergebnisse wurden in diesem Projekt erzielt. Im elastischen Lame Modell: Es ist bekannt, dass jede elastische Welle eine Überlagerung von zwei fundamentalen Wellentypen ist, den Scherwellen und Druckwellen. Wir bewiesen, dass jeweils eine dieser beiden Wellenarten schon für die Detektion der Objekte ausreicht. Dieses Resultat wurde erstmalig in diesem Projekt rigoros bewiesen. Im elektromagnetischen Modell: Die sogenannte Enclosure Methode, basierend auf den Lösungen der komplexen geometrischen Optik, war bisher nicht ausreichend begründet für die Maxwell Gleichungen. Wir konnten die Verwendung nun vollständig rechtfertigen durch Beweise der entsprechenden Abschätzungen. Dafür wurde unter anderem eine Gröger-Meyer-Lp Ungleichung für das Maxwell System bewiesen. Im akustischen Modell: zur Foldy-Lax Approximation für Streuwellen von mehreren Objekten. Wir konnten hinreichende und allgemeine Bedingungen für die Zahl M von Streuobjekten, ihre Größen a und den minimalen Abstand d zwischen ihnen herleiten, sodass diese Approximation gültig ist. Direkte Anwendungen dieser Approximationen können in der Bildgebung von sehr kleinen Objekten und der Theorie der Metamaterialien verwendet werden. Die Letztere ist eine weitere neue Forschungsrichtung, die wir in einem nächsten Schritt weiterentwickeln werden.