Numerische Verfahren für nichtlineare Schrödingergleichungen

In vielen Wissenschaftsdisziplinen wie etwa den Naturwissenschaften, dem Ingenieurswesen, der Medizin und den Wirtschaftswissenschaften sind nichtlineare Evolutionsgleichungen zur mathematischen Beschreibung dynamischer Prozesse von großer Bedeutung. Zahlreiche physikalische Phänomene werden mittels nichtlinearer partieller Differentialgleichungen modelliert. Bekannte Beispiele aus der Quantenphysik sind nichtlineare Schrödingergleichungen. Speziell für diese Probleme ist die Erhaltung gewisser physikalisch relevanter Größen eine fundamentale Eigenschaft der zugrundeliegenden Differentialgleichung. Der Einsatz des Computers ist zur numerischen Lösung komplexer Probleme wie sie in praktischen Anwendungen auftreten zwar unerlässlich, jedoch führen Computersimulationen dazu, dass das tatsächliche Resultat durch den Einfluss von Diskretisierungsfehlern oder Rundungsfehlern gestört wird. Deshalb stellt sich die Frage, in welcher Hinsicht die erzielten Ergebnisse aussagekräftig sind und wie sie richtig zu interpretieren sind. Das vorliegende Projekt ist mit der theoretischen Analyse innovativer Integrationsverfahren für zeitunabhängige sowie zeitabhängige Schrödingergleichungen befasst. Insbesondere schließt dies die Untersuchung des Konvergenzverhaltens der betrachteten numerischen Diskretisierungsverfahren mit ein. In erster Linie analysieren wir effiziente Verfahren zur numerischen Lösung der Gross- Pitaevskii Gleichung, welche in der Quantenphysik bei der Modellierung von Bose-Einstein Kondensaten auftritt. In diesem Zusammenhang sind auf Pseudospektralverfahren und exponentiellen Operatorsplittingverfahren hoher Ordnung basierende Orts- und Zeitdiskretisierungen von besonderem Interesse.

In vielen Wissenschaftsdisziplinen wie etwa den Naturwissenschaften, dem Ingenieurwesen, der Medizin und den Wirtschaftswissenschaften sind nichtlineare partielle Differentialgleichungen zur mathematischen Beschreibung dynamischer Prozesse von großer Bedeutung. Zu bekannten Beispielen aus dem Bereich der Quantenphysik zählen zeitabhängige nichtlineare Schrödinger-gleichungen wie Gross-Pitaevskii-Systeme, welche bei der Modellierung von BoseEinstein Kondensaten auftreten.Zur Lösung komplexer nichtlinearer partieller Differentialgleichungen ist der Einsatz des Computers unerlässlich. Insbesondere bei Berechnungen über längere Zeiten ist jedoch zu beachten, dass die Akkumulation von Rundungsfehlern unvermeidbar ist und die vorgenommenen Diskretisierungen bezüglich räumlicher und zeitlicher Größen das Resultat beein?ussen. Der Zweig der Numerischen Mathematik befasst sich mit der Entwicklung von den jeweiligen partiellen Differentialgleichungen angepassten Diskretisierungsverfahren sowie deren Analyse in Hinblick auf Stabilität und Genauigkeit.Im Rahmen des Forschungsprojektes Numerische Verfahren für nichtlineare Schrödinger-gleichungen wurden innovative numerische Verfahren für zeitunabhängige sowie zeitabhängige Schrödingergleichungen entwickelt und deren Konvergenzverhalten analysiert. In erster Linie wurden Orts- und Zeitdiskretisierungsverfahren basierend auf Spektralverfahren und exponentiellen Operator-Splittingverfahren hoher Ordnung betrachtet. Zudem wurden verschiedene Zugänge zur Konstruktion von adaptiven Splittingverfahren, welche zur Verbesserung der Zuverlässigkeit sowie der Ef?zienz der numerischen Berechnungen wesentlich sind, untersucht. Numerische Experimente bestätigen das vorteilhafte Verhalten der betrachteten Diskretisierungsverfahren für nichtlineare Schrödingergleichungen wie Gross-Pitaevskii-Gleichungen.