Nicht-eindeutige Faktorisierungen und Additionssätze

Nicht-Eindeutige Faktorisierungen. Sei R ein noetherscher Integritätsbereich. Dann besitzt jede von Null verschiedene Nichteinheit eine Faktorisierung in Atome (das sind irreduzible Elemente) von R. Im allgemeinen gibt es aber viele solcher Darstellungen, die sich nicht nur bis auf Einheiten und der Reihenfolge von Faktoren unterscheiden. Es ist die Hauptaufgabe der Faktorisierungstheorie die verschiedenen Phänomene der Nicht-Eindeutigkeit von Faktorisierungen zu beschreiben, und diese in Termen von algebraischen Invarianten von R zu klassifizieren. Ist a = u_1 u_k eine solche Zerlegung eines Elements in Atome, so bezeichnet man mit k ihre Länge und man studiert die Längenmenge L (a) von a (das ist die Menge aller Längen von Faktorisierungen von a). Weil R noethersch ist, sind alle Längenmengen endlich. Ist R ganz abgeschlossen, so ist R ein Krullbereich (Dedekind- bereiche sind gerade die eindimensionalen Krullbereiche). In diesem Fall ist die Klassengruppe G von R eine wichtige Invariante, die die Faktorisierungen kontrolliert. Insbesondere ist R genau dann faktoriell, wenn R Krull und die KlassengruppeG trivial ist. Ist G endlich, so können die Längenmengen zwar beliebig groß werden, sie tragen aber eine wohlbestimmte Struktur: es sind (verallgemeinerte) arithmetische Progressionen. Additionssätze. Sei G eine abelsche Gruppe, A, B endliche nichtleere Teilmengen und A+B = {a+b | a liegt in A und b in B } ihre Summenmenge. Direkte Additionssätze geben Auskunft über die Größe der Summenmenge in Abhängigkeit von |A| und |B|. So besagt der Satz von Kneser (aus den 50iger Jahren des vorigen Jahrhunderts), dass |A+B| größer gleich |A+H| + |B+H| - |H| ist, wobei H den Stabilisator von A+B bezeichnet. Inverse Additionssätze (wie die Sätze von Vosper, Kemperman, Freiman) geben, bei extremalen Verhalten von |A+B|, Auskunft über die Struktur von A und B. Nullsummentheorie. Diese hat ihren Ursprung in der Kombinatorischen Zahlentheorie. Studiert werden (endliche) Folgen S = g_1 g_l von Elementen über einer abelschen Gruppe G (dabei ist die Wiederholung von Elementen erlaubt und die Reihenfolge spielt keine Rolle). Man sagt, S hat Summe Null, falls g_1 + + g_l = 0 ist. Ein typisches direktes Nullsummenproblem studiert Bedingungen, die garantieren, dass eine gegebene Folge eine Nullsummenteilfolge mit gewissen Eigenschaften besitzt. Die Fragestellungen der Nullsummentheorie kommen aus verschiedenen Bereichen der Kombinatorik, der Graphentheorie und der Geometrie. Als eines der Ausgangspunkte dieser Theorie gilt der Satz von Erdös-Ginzburg-Ziv aus dem Jahre 1961: er besagt, dass eine Folge S über einer endlichen zyklischen Gruppe G mit Länge |S| größer gleiche 2|G|-1 immer eine Nullsummenteilfolge der Länge |G| enthält. Erst im Jahre 2007 fand dieser Satz seine Verallgemeinerung auf Gruppen vom Rang zwei. Das vorliegende Projekt liegt in der Überlappung obiger Gebiete. Neben polynomialen Methoden und Gruppenalgebren sind Additionssätze das zentrale Hilfsmittel in der Null- summentheorie. Ist der noethersche Bereich R von oben ganz abgeschlossen, so ist er Krull, und arithmetische Fragen in R lassen sich in Nullsummenprobleme der Klassengruppe G übersetzen. Diese Beziehung ist besonders eng, wenn G endlich ist und in jeder Klasse Primideale liegen (was im Falle von Ganzheitsringen algebraischer Zahlkörper zutrifft). Ziel ist unter anderem, die jüngsten Fortschritte bei inversen Additionssätzen und inversen Nullsummenproblemen zu nutzen, um die Menge der möglichen Differenzen großer Längenmengen - diese sind arithmetische Progressionen - zu studieren.

Nicht-eindeutige Faktorisierungen. Aus dem Schulunterricht ist der Fundamentalsatz der Arithmetik bekannt:Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Primzahlen sind (multiplikativ) unzerlegbare Zahlen (auch Atome genannt), also zum Beispiel 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, Das Studium der Primzahlen ist einerseits ein klassischen Teilgebiet der Reinen Mathematik, andererseits sind diese Ergebnisse für Anwendungen in der Codierungstheorie und Kryptographie unverzichtbar.Nun gibt es in der Mathematik viele Bereiche, in denen man - wie in den natürlichen Zahlen die enthaltenen Objekte (Zahlen, Elemente) als Produkte oder Summen von Atomen (einfacheren Bausteinen) darstellen kann, allerdings geht die Eindeutigkeit im allgemeinen verloren. Aussagen über die verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten (also über die Nicht-Eindeutigkeit der Faktorisierungen) helfen, die Ausgangsobjekte besser zu verstehen.Additionssätze. Ein klassischer Additionssatz von Lagrange besagt, dass jede nichtnegative ganze Zahl Summe von vier Quadratzahlen ist, d.h. N0= Q+Q+Q+Q, wobei Q die Menge der Quadratzahlen ist. Allgemein geben Additionssätze in abelschen Gruppen Auskunft über Größe und Struktur von Summenmengen A + B in Abhängigkeit von den Summanden A und B.Nullsummentheorie ist ein Teilgebiet der Kombinatorischen und Additiven Zahlentheorie, in dem endliche Folgen g1,,gl von Elementen in abelschen Gruppen betrachtet werden (dabei ist die Wiederholung von Elementen erlaubt, aber ihre Reihenfolge wird nicht berücksichtigt). Es werden Bedingungen studiert, die garantieren, dass vorgegebene Folgen Teilfolgen mit Summe Null enthalten. Weiters wird die Struktur minimaler Nullsummenfolgen untersucht. Das vorliegende Projekt liegt im Überschneidungsbereich der obigen mathematischen Teilgebiete und macht sich deren jüngste Fortschritte zunutze. Mit Hilfe von Additionssätzen werden (minimale) Nullsummenfolgen untersucht, und deren Verhalten modelliert das Faktorisierungsverhalten von Elementen in wichtigen mathematischen Bereichen.