Stetige und diskrete Gabor frames

Zeit/Frequenz-Analysis ist ein sich rasch entwickelndes mathematisches Gebiet. Zeit/Frequenz-analytische Methoden werden in vielen Gebieten erfolgreich angewandt, wie etwa in Quantenphysik, Nachrichtentechnik, Seismik und Geologie, Radar, Mobilfunk oder der Analyse biometrischer Daten in der Medizin. Durch ihren interdisziplinären Aspekt sprechen diese Methoden Wissenschaft und Forschung vieler verschiedener Ausrichtungen an. Das typische funktionalanalytische Objekt der Zeit/Frequenz-Analysis sind Gabor frames im Zeit-stetigen Modell. Andererseits wird in den Anwendungen oft das Augenmerk auf das diskrete Modell gelegt, im Hinblick auf Computereinsatz und numerische Ergebnisse. Wir entwickeln eine Verbindung zwischen dem stetigen und dem kontinuierlichen Modell. Das diskrete Modell wird dabei in dreierlei Art eingesetzt. Erstens gibt es wichtige Approximationsergebnisse, die einen stetigen Gabor frame als Grenzwert von diskreten Versionen beschreibt. Das diskrete Modell hat damit direkte Auswirkungen für die stetige Theorie. Zweitens führen die diskrete und die stetige Theorie oft zu analogen Problemen. Selbst wo die Approximation nicht zur Anwendung kommen kann, trägt die diskrete Analyse somit zum Verständnis des stetigen Problems bei, nämlich durch Analogieschlüsse. Drittens sind, wie oben angesprochen, diskrete Gabor frames höchst relevant für die Anwendungen, weshalb das diskrete Modell selbst ein wichtiger Forschungsgegenstand ist. So werden auch diskrete Phänomene untersucht, die keine offensichtliche Analogie zum stetigen Modell erkennen lassen.

Die klassische Theorie der Fourieranalyse erlaubt die Zerlegung von allgemeinen Funktionen oder Signalen in einfache wellenartige Funktionen, die Sinus- und Cosinusfunktionen. Die ursprüngliche Form einer Fourierreihe ist die Zerlegung einer schwingenden Saite in ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz, die sogenannten harmonischen Schwingungen. Ein zeitkontinuierliches Analogon ist die die Fouriertransformation, die Zerlegung eines unendlichen Signals in Vielfache einer Grundfrequenz. Oft ist jedoch nicht nur der Gesamt-Frequenzgehalt des Signals bedeutend, sondern der Frequenzgehalt von Ausschnitten des Signals, im Hinblick auf den Umstand, dass die vorhandenen Frequenzen im Laufe der Zeit variieren können. Ein effizientes Werkzeug für diese Art der Untersuchung sind Zeit-/Frequenz-analytische Methoden. Das Hauptwerkzeug zur Zeit-/Frequenz-Analysis ist die Kurzzeit-Fouriertransformation. Sie berechnet für jeden individuellen Zeitpunkt den Frequenzgehalt des Signals in der Nähe dieses Zeitpunkts. Zu beachten gilt, dass es für das Konzept des Frequenzgehaltes an einem Zeitpunkt gewisse Einschränkungen gibt. Diese Einschränkungen sind heute mathematisch gut erklärt und werden in allgemeinen Formen der sogenannten Heisenbergschen Unschärferelation ausgedrückt. Typischerweise werden diese Einschränkungen bewältigt durch die geeignete, an das jeweilige Problem angepasste Wahl der sogenannten Fensterfunktion. Eine typische Fensterfunktion ist etwa die Gaussche Glockenkurve, deren Breite (Standardabweichung) an das vorliegende Signal angepasst werden kann. Die Fensterfunktion wird entlang des Signals verschoben. Ihre Rolle ist es, das Signal zu lokalisieren, um im wesentlichen einen endlichen Ausschnitt davon herauszugreifen. Das Ergebnis dieses Zugangs ist ein umfassendes, flexibles Werkzeug für die Signalanalyse, mit unmittelbaren Erweiterungen zu mehrdimensionalen Anwendungen wie etwa in der Bildverarbeitung. Zeit-/Frequenz-Analysis ist damit ein mathematisches Gebiet mit Anwendungen in verschiedensten Disziplinen und Technologien wie Datenübertragung, Seismologie, die Analyse geologischer Strukturen, Tonanalyse für Hörhilfen, Spracherkennung, die Analyse biometrischer Daten und Herzrhythmuskontrollgeräte. Normalerweise sind die Daten in solchen Anwendungen in analoger Form gegeben, unserem gewöhnlichen Verständnis von natürlichen Vorgängen entsprechend. Computerprogramme wiederum sind konzipiert, um Daten in digitaler Form zu bearbeiten, der Form entsprechend, in der Daten im Computer gespeichert sind. Mathematische Modelle sind oft fokussiert entweder auf die analoge oder auf die digitale Form der zu behandelnden Daten. Die mathematische Theorie der Zeit-/Frequenz-Analysis liefert einerseits ein Modell für analoge Objekten (Funktionen), andererseits auch ein eigenes Modell für zeitdiskrete Objekte (Vektoren). Das Projekt basiert auf der Verbindung zwischen der analoge Theorie (zeitkontinuierliche Zeit-/Frequenz-Analysis) und der diskreten Theorie (diskrete Zeit-/Frequenz-Analysis). Insbesondere wurden im Projekt neue Methoden in der diskreten Theorie entwickelt, die also tatsächlich und nachvollziehbar den Methoden der analogen Theorie entsprechen. Das Projekt war außerdem in der Lage, grundlegende neue Einsicht in die analoge Theorie zu finden, vor allem durch das neue viel allgemeinere Verständnis für das sogenannte Balian-Low Theorem, einem Kernphänomen der Zeit-/Frequenz-Analysis. Die Durchführung des Projekts führte auch zur Verwendung von zahlentheoretischen Methoden und der Untersuchung von Problemen der Zahlentheorie. Zahlreiche tiefe Zusammenhänge zwischen Fourier Analysis und Zahlentheorie sind bekannt, das Projekt trägt zur weiteren Intensivierung dieses Zusammenhanges bei.