Der Nambu-Kalkül in der dynamischen Meteorologie

Der Nambu-Kalkül ist ein Formalismus zur bequemen Darstellung einer Zahl von klassischen mechanischen Systemen. Er wurde ursprünglich von Nambu (1973) für die Dynamik diskreter Massenpunkte entwickelt; später wandten Autoren das Konzept auf die kontinuierlichen Feldgleichungen der dynamischen Meteorologie an. Diese Versuche waren vielversprechend, insbesondere in Form der Energie-Wirbel-Theorie, die kürzlich von Névir (1998) vorgelegt wurde. Der vorliegende Antrag zielt drauf ab, diesen Ansatz weiter zu entwickeln, einmal durch Verallgemeinerung seiner formalen Grundlagen sowie durch Anwendung auf eine größere Klasse relevanter fluiddynamischer Probleme. Wir wollen, durch Kombination von Nambu-Kalkül, den Methoden der Differentialgeometrie und der Lie-Gruppen-Theorie, zeigen, dass die neue Theorie das Potential hat, die Prinzipien der dynamischen Meteorologie zu vereinheitlichen. Ein wichtiger Schritt dazu wird die Untersuchung der Frage sein, auf welche Weise die diskreten Nambustrukturen auf die kontinuierlichen partiellen Differentialgleichungen von Fluiden bezogen sind. Das Projekt soll sich in seinem theoretischen Teil auf die reibungsfreie barotrope Vorticitygleichung konzentrieren. Diese besitzt im Rahmen der Energie-Wirbel-Dynamik eine charakteristische Form, die trilineare Nambu- Klammer, welche die geometrische Struktur der kontinuierlichen Vorticitygleichung sichtbar macht. Ein äquivalenter Formalismus ist anwendbar auf Probleme höherer Ordnung wie die Rayleigh-Bénard-Konvektion, die zwei unbekannte Funktionen enthält und Dissipation einschließt; die letztere Verallgemeinerung führt auf Nambu- metriplektische Systeme. Das Projekt soll sich in seinem angewandten Teil darauf konzentrieren, die Möglichkeiten der Energie-Wirbel- Theorie für den Betrieb diskreter, strukturerhaltender Modelle niedriger Ordnung in der Fluiddynamik zu untersuchen. Diese Aufgabe soll angegangen werden durch traditionelle Galerkin-Methoden, die mit ergänzender Information aus der Nambu-Form der entsprechenden kontinuierlichen Gleichungen versorgt werden. Das finanzielle Volumen des Antrags beläuft sich auf etwa EUR 225.000; diese Summe umfasst das Gehalt für 2 Doktoranden für 3 Jahre, zuzüglich Reisemittel und Rechnerausstattung. Die geplante Dauer des Vorhabens ist 36 Monate (Januar 2009-Dezember 2011). Das Vorhaben soll an der Fakultät für Mathematik der Universität Wien durchgeführt werden.

Der Nambu-Kalkül ist ein Formalismus zur Darstellung der Evolutionsgleichungen physikalischer Systeme. Er wurde ursprünglich von Y. Nambu (1973) für diskrete Systeme entwickelt und später auf die stetigen Feldgleichungen der Fluiddynamik verallgemeinert. Charakteristisch für die Darstellung in Nambu-Form ist die explizite Berücksichtigung der allgemeinen Erhaltungssätze, insbesondere die Erhaltung von Energie und eines Vorticitymoments (z.B. des Vorticityquadrats, gewöhnlich als Enstrophie bezeichnet). Schlüsselinstrument dieses Kalküls ist die Nambuklammer, die im Wesentlichen die nicht-linearen Terme in den dynamischen Gleichungen wiedergibt. Die Nambuklammer ist eine Verallgemeinerung der Poissonklammer der klassischen Hamiltonmechanik. In diesem Projekt haben wir ihre Rolle für die Vorticitygleichung untersucht. Unsere Hauptaufgabe war, die theoretische Grundlage der Nambuklammer und ihre praktische Bedeutung für die numerische Vorhersage zu studieren. Zum Beispiel haben wir verschiedene niedrig-komponentige Modelle betrachtet; ihre Analyse konnte mit der Nambu-Darstellung deutlich verbessert werden. Auch konservative Gitterpunktdiskretisierungen der Vorticitygleichung wurden systematisch untersucht. Diese strukturerhaltenden numerischen Schemata sind von besonderer Bedeutung in der Wetter- und Klimavorhersage. Dieses Projekt hat gezeigt, dass die Verwendung geometrischer Eigenschaften von partiellen Differentialgleichungen einen positiven Einfluss auf Simulationsmodelle wachsender Komplexität ausüben kann.