Eindeutigkeitsresultate für extremale Quadriken

Nach einem berühmten Resultat der affinen Konvexgeometrie kann eine volldimensionale, beschränkte und kompakte Teilmenge F des Rd durch ein eindeutig bestimmtes Ellipsoid minimalen Volumens (das Löwner Ellipsoid von F) eingeschlossen werden. Die konvexe Hülle von F enthält außerdem ein eindeutig bestimmtes Ellipsoid maximalen Volumens (das John Ellipsoid von F). Minimales und maximales Ellipsoid haben zahlreiche Anwendungen in diversen Gebieten der reinen und angewandten Mathematik, unter anderem in der Konvexgeometrie, der Robotik, der Computergraphik, der Statistik, dem Computer Aided Design und der rechnergestützten Geometrie. Die Existenz extremaler Ellipsoide ist eine Folge der Kompaktheit von F. Die Eindeutigkeit der beiden Ellipsoide mit extremalem Volumen wurde von Fritz John im Jahr 1948 und von Danzer, Laugwitz und Lenz im Jahr1957 bewiesen. Weitere Beiträge zur Eindeutigkeit minimaler Ellipsoide stammen von Firey (1964) und Schröcker (2008). Im Jahr 2007 bewies Schröcker ein Eindeutigkeitsresultat für minimale umschließende Hyperbeln von Geradenmengen. Im vorgeschlagenen Projekt werden wir weitere Eindeutigkeitsresultate für extremale Quadriken herleiten und dabei die existierenden Resultate in verschiedener Weise erweitern. Insbesondere wollen wir die Eindeutigkeit von maximalen eingeschlossenen Ellipsoiden bezüglich verschiedener Größenfunktionen, die Eindeutigkeit extremaler Hyperboloide (zum Beispiel extremaler einschaliger Hyperboloide zu Geradenmengen des R3 oder extremaler zweischaliger Hyperboloide zu Ebenenmengen des R3 ) und die Eindeutigkeit extremaler Quadriken in nicht- Euklidischen Geometrien zeigen. Extremale Quadriken in diesem Sinn besitzen potentielle Anwendungen in der geometrischen Tolernzanalyse, im CAD, in der Photogrammetrie und in der Bildverarbeitung. Zwar stehen Eindeutigkeitsresultate im Zentrum unseres Interesses, wir wollen aber gegebenenfalls auch Charakterisierungen von extremalen Quadriken sowie deren geometrische Eigenschaften, ihre Approximationsqualität und Algorithmen für ihre effizient Berechnung studieren. Die in den Untersuchungen verwendeten Techniken kommen aus der Analysis, der analytischen Geometrie, der Optimierungsrechnung und der Konvexgeometrie.

Nach einem berühmten Resultat der affinen Konvexgeometrie kann eine volldimensionale, beschränkte und kompakte Teilmenge F des Rd durch ein eindeutig bestimmtes Ellipsoid minimalen Volumens (das Löwner Ellipsoid von F) eingeschlossen werden. Die konvexe Hülle von F enthält außerdem ein eindeutig bestimmtes Ellipsoid maximalen Volumens (das John Ellipsoid von F). Minimales und maximales Ellipsoid haben zahlreiche Anwendungen in diversen Gebieten der reinen und angewandten Mathematik, unter anderem in der Konvexgeometrie, der Robotik, der Computergraphik, der Statistik, dem Computer Aided Design und der rechnergestützten Geometrie. Die Existenz extremaler Ellipsoide ist eine Folge der Kompaktheit von F. Die Eindeutigkeit der beiden Ellipsoide mit extremalem Volumen wurde von Fritz John im Jahr 1948 und von Danzer, Laugwitz und Lenz im Jahr1957 bewiesen. Weitere Beiträge zur Eindeutigkeit minimaler Ellipsoide stammen von Firey (1964) und Schröcker (2008). Im Jahr 2007 bewies Schröcker ein Eindeutigkeitsresultat für minimale umschließende Hyperbeln von Geradenmengen. Im vorgeschlagenen Projekt werden wir weitere Eindeutigkeitsresultate für extremale Quadriken herleiten und dabei die existierenden Resultate in verschiedener Weise erweitern. Insbesondere wollen wir die Eindeutigkeit von maximalen eingeschlossenen Ellipsoiden bezüglich verschiedener Größenfunktionen, die Eindeutigkeit extremaler Hyperboloide (zum Beispiel extremaler einschaliger Hyperboloide zu Geradenmengen des R3 oder extremaler zweischaliger Hyperboloide zu Ebenenmengen des R3 ) und die Eindeutigkeit extremaler Quadriken in nicht- Euklidischen Geometrien zeigen. Extremale Quadriken in diesem Sinn besitzen potentielle Anwendungen in der geometrischen Tolernzanalyse, im CAD, in der Photogrammetrie und in der Bildverarbeitung. Zwar stehen Eindeutigkeitsresultate im Zentrum unseres Interesses, wir wollen aber gegebenenfalls auch Charakterisierungen von extremalen Quadriken sowie deren geometrische Eigenschaften, ihre Approximationsqualität und Algorithmen für ihre effizient Berechnung studieren. Die in den Untersuchungen verwendeten Techniken kommen aus der Analysis, der analytischen Geometrie, der Optimierungsrechnung und der Konvexgeometrie.