Dynamische Systeme und digitale Entwicklungen in nicht archimedischen Körpern

Die Darstellung einer Zahl zur Basis Zehn ist das bekannteste Beispiel einer digitalen Ziffernentwicklung. Dieses Konzept wurde in viele Richtungen verallgemeinert, wobei sowohl Entwicklungen betrachtet wurden bei denen die Menge der darzustellenden Zahlen verallgemeinert wurde, als auch Entwicklungen, bei denen die Basis verallgemeinert wurde. Viele dieser Entwicklungen werden von dynamischen Systemen erzeugt. Es stellt sich heraus, daß sich die zu Grunde liegenden Algorithmen nicht nur in archimedischen Körpern wie z.B. den reellen oder komplexen Zahlen formulieren lassen, sondern auch in nichtarchimedischen Körpern wie dem Körper der formalen Laurentreihen oder den p-adischen Zahlen. Während im achimedischen Fall die meisten dieser Algorithmen ausführlich analysiert wurden, ist die entsprechende Theorie im nichtarchimedischen Fall noch lückenhaft. Im vorliegenden Projekt werden metrische Eigenschaften von Ziffernentwicklungen von Laurentreihen und p- adischen Zahlen untersucht. Insbesondere werden die Analoga von kanonischen Ziffersystemen und beta- Entwicklunden betrachtet. Weiters wird der Zusammenhang dieser Entwicklungen mit fraktalen Tilings untersucht.

Die erste Arbeit widmet sich mit einem neuartigen Algorithmus zur Kettenbruchentwicklung von Elementen aus dem Körper der Laurentreihen über einem endlichen Körper. Dieser Algorithmus basiert auf einer Verallgemeinerung der Ziffernentwicklung reeller Zahlen. Wir untersuchen einige ergodische Eigenschaften und berechnen die Hausdorffdimension von Mengen mit beschränkten Kettenbruchkoeffizienten. In der zweiten Arbeit wird eine einheitliche Schreibweise für mehrere bekannte Ziffernsysteme in Zahlkörpern und Funktionenkörpern entwickelt. Wir betrachten Ziffernsysteme in Polynomringen über euklidischen Ringen. Unsere Notation beinhaltet sowohl kanonische Ziffernsysteme als auch Ziffernsysteme über endlichen Körpern. In diesem allgemeinen Kontext entstehen einige neue Phänomene. Die dritte Arbeit ist noch in der Entstehungsphase. Wir verallgemeinern das in der zweiten Arbeit entwickelte Konzept auf Ziffernsysteme mit mehreren Basen.