Schwünge im alpinen Skilauf

Ziel des vorliegenden Projektes ist die Entwicklung eines Mehrkörpermodells für einen Skifahrer, der aufeinander folgende Schwünge ausführt. Der Skifahrer wird durch starre Segmente modelliert. Die Ausrüstung darf nicht als starr behandelt werden. Man hat reale Ski mit Taillierung, Vorspannung und vorgegebener Biege- und Torsionssteifigkeit zu betrachten. Zusätzlich muss die Steifigkeit der Skischuhe, der Bindungsplatten und der Bindung berücksichtigt werden. Um die Bewegungsgleichung auf einfache Weise erstellen zu können, wird sie nach Haug [Hau] als differentiell-algebraische Gleichung (DAE) in Deskriptorform dargestellt. Als Variable dienen verallgemeinerte kartesische Koordinaten. Dabei wird der Zustand des Systems festgelegt durch die Position der Schwerpunkte der Körpersegmente und durch Eulerparameter zu ihrer Orientierung. Gelenke zwischen den Segmenten führen auf algebraische Gleichungen, die von den Koordinaten abhängen. Es liegen also holonome Zwangsbedingungen vor. Bisher wurde von der Arbeitsgruppe von W. Nachbauer, die bei der Modellierung von Schwüngen weltweit führend ist, das Software-Paket Virtual.Lab [LMS] verwendet. Für realistische Schwünge sind zwei Hauptprobleme zu lösen: ein quantitativ richtiges Modell für die Schneereaktionskräfte und eine Strategie für das Gleichgewichtsproblem. Die Schneereaktionskräfte werden in bewährter Form wie in [MHK] behandelt: ein hypoplastisches Stoffgesetz für die Normalkomponente und die Theorie der Metallzerspanung für die Scherkräfte. Für niedrige Geschwindigkeiten ist das Modell validiert durch Versuche mit einem Schlitten mit Ski anstelle von Kufen [MHS1], [MHS2]. Ein solcher Schlitten kann als Einkörpermodell für einen Skifahrer angesehen werden. Bei höheren Geschwindigkeiten wird man zusätzlich Schneefahnen nach Hirano-Tada [HT1] berücksichtigen müssen. Das Gleichgewichtsproblem ist schwierig. Um im Gleichgewicht zu bleiben, muss sich der Skifahrer so nach innen lehnen, dass die resultierende Kraft aus Gewicht und Zentrifugalkraft auf die Fläche zwischen den Ski gerichtet ist. Wenn die Lateralkomponente der resultierenden Kraft die Grenzscherkraft übersteigt, beginnt Abrutschen. Die Grenzscherkraft ist proportional zur Eindringtiefe des Ski in den Schnee. Die korrekte Berechnung der Eindringtiefe stellt deshalb einen wesentlichen Faktor dar. Verdichteter Schnee ist kaum elastisch. Einmal aufgetretene Deformationen bleiben dauerhaft. Bei geschnittenen Schwüngen gräbt der Vorderteil des Ski eine Spur in den Schnee und die hinteren Teile bleiben in dieser Spur. Je nach Behandlung der Zentrifugalkraft führt das Gleichgewichtsproblem auf nicht-holonome Zwangsbedingungen, die von Geschwindigkeit, Beschleunigung oder Lagrange-Parametern abhängen. Weiters können Ungleichungen auftreten. Solche Zwangsbedingungen können nicht mit Virtual.Lab behandelt werden. Wir beabsichtigen, zur Lösung eigene Methoden zu entwickeln. Die am Projekt beteiligten Numeriker haben eine langjährige Erfahrung mit DAEs.

Ein Skifahrer lenkt beim Kurvenfahren seine Fahrt durch Kanten und Belasten der Ski. Die Form der Kurve hängt auch von den Ski- und Schneeeigenschaften ab. Ziel des vorliegenden Projektes war die Erstellung eines Modells, mit dem das Kurvenfahren möglichst naturgetreu simuliert werden kann. Es besteht aus drei Teilmodellen: einem Mehrkörpermodell für den Skifahrer, einem Euler-Bernoulli-Balken als Skimodell und einem Modell für die Kräfte und Momente zwischen Ski und Schnee. Das Skifahrermodell besteht aus 8 starren Segmenten: Oberer Rumpf, zusammen mit Kopf, Armen und Skistöcken, unterer Rumpf, linker und rechter Oberschenkel, Unterschenkel, Ski. Bei den Unterschenkeln wurde der Skischuhschaft und bei den Ski die Füße, der untere Teil der Skischuhe, Bindung und die Bindungsplatte berücksichtigt. Sprunggelenke und Kniegelenke wurden als Drehgelenke modelliert, ebenso das Gelenk zwischen oberem und unterem Rumpf, die Hüftgelenke als Kugelgelenke. Muskelkräfte wurden durch eine möglichst naturgetreue Wahl der Gelenkswinkel berücksichtigt. Mit diesem Skifahrermodell wurden die Kantwinkel und die Belastung der Ski durch den Skiläufer berechnet. Die Ski wurden als Euler-Bernoulli-Balken mit realen geometrischen Abmessungen (Länge, Breite, Dicke, Taillierung, Vorspannhöhe) und realen mechanischen Eigenschaften (Masse, Trägheitsmoment, Biege- und Torsionsteifigkeit) modelliert. Die Belastung besteht aus den Kräften und Momenten, die Skifahrer und Schnee auf den Ski ausüben. Damit werden Eindringtiefe und Torsion ermittelt. Die Kräfte zwischen Ski und Schnee werden in 3 Komponenten zerlegt: Normalkraft senkrecht auf die Schneeoberfläche des Hanges, Scherkraft und Reibungskraft. Bei einem geschnittenen Schwung gräbt das Vorderteil des Ski eine Spur in den Schnee und der Hinterteil bewegt sich in dieser Spur weiter. Die Eindringtiefe des Hinterteils bleibt in etwa so groß wie die unter der Bindung, dem Bereich der größten Last. Dieses Verhalten wird mit einem hypoplastischen Stoffgesetz modelliert. Die Bewegung der einzelnen Körpersegmente und der Ski wird durch numerisches Lösen der Bewegungsgleichung für das Skifahrermodell ermittelt. Die Bewegungsgleichung wurde in Deskriptorform als Differentialgleichungssystem mit algebraischen Nebenbedingungen erstellt. Der Luftwiderstand wird berücksichtigt. Rutschen wird zugelassen, wenn die Scherkräfte zu groß sind. Zur Validierung wurde für die Fahrt eines exzellenten Skifahrers mit zweieinhalb Kurven eine Videoanalyse erstellt. Durch geeignete Wahl der Gelenkswinkel konnte das Skifahrermodell die Bewegung des Skifahrers so genau nachverfolgen, dass die Abstände der Bindungsköpfe zwischen Video und Simulation kleiner als 50 cm waren. Dies ist eine beachtliche Genauigkeit, wenn man bedenkt, dass die Länge der untersuchten Fahrt 36,45 m betrug. Für die weitere Entwicklung des Modells ist geplant, Skischwingungen und Muskelkräfte zu berücksichtigen. Für Transversalschwingungen von nicht aufgekanteten Ski liegen schon vielversprechende Resultate vor. Das präsentierte Modell ist eine wichtige Grundlage für Untersuchungen zur Reduktion des Unfallrisikos im Skilauf und zur Herstellung von Skiausrüstung. Es kann dazu dienen, das Verständnis von der Mechanik des Skilaufs zu verbessern.