Homologische Spiegelsymmetrie und ihre Anwendungen

In diesem Antrag skizziere ich mehrere Ideen, die eine logische Weiterfhrung meiner Arbeit auf dem Gebiet der Homologischen Spiegel Symmetrie bedeuten. Wir beginnen mit einer kurzen Einfhrung in das Forschungsthema und erklären in welche Richtungen wir unsere Studien erweitern wollen. Spiegel Symmetrie entstand ursprnglich in der Physik, als eine Dualität zwischen N = 2 superkonformen Feldtheorien. Witten formulierte eine mathematisch ansprechendere Version, hinsichtlich topologischer Feldtheorien. Ein Grundproblem der Spiegel Symmetrie. Bei Sigma-Modellen betrifft die traditionelle Formulierung für Calabi-Yau Verschneidung in torischen Varietäten, wobei kurzlich weitaus weitreichendere Konstruktionen aufgestellt wurden. Im Rahmen der Landau-Ginzburg Modelle wurde das torische Bild von Hori-Vafa beschrieben, wobei seine Grenzen noch immer nicht eindeutig geklärt sind. Eines der Grundanliegen ist auf jeden Fall die flexiblere Gestaltung des geometrischen Bildes der Spiegel Symmetrie. Beispielsweise wird der Effekt von birationalen Transformationen bei abgeleiteten Kategorien algebraischer Varietäten gut verstanden, es wird jedoch erst jetzt damit begonnen, das entsprechende Spiegelbild zu studieren. Anwendungen für klassische Probleme in der symplektischen Topologie und der algebraischen Geometrie zu erhalten. Forschungsgebiete, bei denen wir erhebliche Fortschritte erhoffen: HSS in grösseerem Detail und systematischer zu beweisen (höher-dimensionale Fanos und Calabi-Yau`s, bessere Methoden für die Konstruktion von Funktoren; der Effekt von Blow-Ups). Die Behauptung von HSS ausweiten hin zu Varietäten allgemeiner Art (Die Formulierung der prezisen Behauptungen; nicht-triviale Erprobungen ausführen). Die Anwendung von HSS zum Erforschen klassischer Probleme der algebraischen Geometrie (im besonderen, den Beweis der Nichtrationalität einiger algebraischen Varietäten konstruieren). Die Entwicklung der Theorie der nicht- kommutativen Hodge-Strukturen, die ein wichtiges Instrument sein sollen; im besonderen die Verbindung von HSS mit dem aufzählenden Teil der Spiegelsymmetrie. Eine Verbindung zwischen HSS und der Hodge-Vermutung herstellen. Es handelt sich um ein internationales Projekt, das unter Mitwirkung der führenden Experten auf diesem Gebiet (D. Auroux MIT, M. Kontsevich IHES, D. Orlov RAS, P. Seidel MIT, L. Katzarkov UW) durchgeführt wird. Die Projektteilnehmer repräsentieren nicht nur international renommierte Forschungsinstitutionen sondern können auch auf eine jahrelange, ausgezeichnete Zusammenarbeit verweisen. Hinzu kommt die starke, positive Wirkung, die das Projekt sowie die einzelnen Projektteilnehmer auf die Forschungslandschaft in Wien, insbesonders auf dem Gebiet der Mathematik, hinsichtlich Ausbildung und Wissenschaftskommunikation haben wird.

In diesem Antrag skizziere ich mehrere Ideen, die eine logische Weiterführung meiner Arbeit auf dem Gebiet der Homologischen Spiegel Symmetrie bedeuten. Wir beginnen mit einer kurzen Einführung in das Forschungsthema und erklären in welche Richtungen wir unsere Studien erweitern wollen. Spiegel Symmetrie entstand ursprnglich in der Physik, als eine Dualität zwischen N = 2 superkonformen Feldtheorien. Witten formulierte eine mathematisch ansprechendere Version, hinsichtlich topologischer Feldtheorien. Ein Grundproblem der Spiegel Symmetrie. Bei Sigma-Modellen betrifft die traditionelle Formulierung für Calabi-Yau Verschneidung in torischen Varietäten, wobei kurzlich weitaus weitreichendere Konstruktionen aufgestellt wurden. Im Rahmen der Landau-Ginzburg Modelle wurde das torische Bild von Hori-Vafa beschrieben, wobei seine Grenzen noch immer nicht eindeutig geklärt sind. Eines der Grundanliegen ist auf jeden Fall die flexiblere Gestaltung des geometrischen Bildes der Spiegel Symmetrie. Beispielsweise wird der Effekt von birationalen Transformationen bei abgeleiteten Kategorien algebraischer Varietäten gut verstanden, es wird jedoch erst jetzt damit begonnen, das entsprechende Spiegelbild zu studieren. Anwendungen für klassische Probleme in der symplektischen Topologie und der algebraischen Geometrie zu erhalten. Forschungsgebiete, bei denen wir erhebliche Fortschritte erhoffen: HSS in größerem Detail und systematischer zu beweisen (höher-dimensionale Fanos und Calabi-Yau`s, bessere Methoden für die Konstruktion von Funktoren; der Effekt von Blow-Ups). Die Behauptung von HSS ausweiten hin zu Varietäten allgemeiner Art (Die Formulierung der prezisen Behauptungen; nicht-triviale Erprobungen ausführen). Die Anwendung von HSS zum Erforschen klassischer Probleme der algebraischen Geometrie (im besonderen, den Beweis der Nichtrationalität einiger algebraischen Varietäten konstruieren). Die Entwicklung der Theorie der nicht-kommutativen Hodge-Strukturen, die ein wichtiges Instrument sein sollen; im besonderen die Verbindung von HSS mit dem aufzählenden Teil der Spiegelsymmetrie. Eine Verbindung zwischen HSS und der Hodge-Vermutung herstellen. Es handelt sich um ein internationales Projekt, das unter Mitwirkung der führenden Experten auf diesem Gebiet (D. Auroux MIT, M. Kontsevich IHES, D. Orlov RAS, P. Seidel MIT, L. Katzarkov UW) durchgeführt wird. Die Projektteilnehmer repräsentieren nicht nur international renommierte Forschungsinstitutionen sondern können auch auf eine jahrelange, ausgezeichnete Zusammenarbeit verweisen. Hinzu kommt die starke, positive Wirkung, die das Projekt sowie die einzelnen Projektteilnehmer auf die Forschungslandschaft in Wien, insbesonders auf dem Gebiet der Mathematik, hinsichtlich Ausbildung und Wissenschaftskommunikation haben wird.