Orthogonale Polynome und Scattering Theorie

Das Ziel des Projekts ist es, asymptotische Aussagen für Polynome herzuleiten, die auf sehr allgemeinen Mengen des Einheitskreises und bezüglich allgemeiner Maße orthogonal sind. Unter sehr allgemeinen Mengen verstehen wir dabei sogenannte homogene Mengen, die z. B. Mengen vom Cantor Typ umfassen, und unter allgemeinen Maßen solche, die ein "strenges`` absolut stetiges Spektrum und eine mögliche unendliche Zahl von Maßpunkten besitzen. Für allgemeine Mengen und Maße dieser Art erwarten wir, dass die assozierten CMV-Matrizen und somit die Verblunsky Koeffizienten asymptotisch fastperiodisch sind. Wir werden also mit Operatoren arbeiten, die durch fastperiodische CMV-Matrizen beschrieben werden können. Der Einfachheit halber demonstrieren wir unsere Ideen für den Fall, wenn das Spektrum ein Bogen des Einheitskreises ist, also die assozierte CMV-Matrix asymptotisch konstant ist. Zuerst stellen wir CMV-Matrizen mit konstanten Koeffizienten als Multiplikationsoperator in L2 bezüglich einer speziellen Basis dar. Dann zeigen wir, dass sich ein ähnliches Orthonormalsystem in einem gewissen "gewichteten`` Hilbert Raum, genannt Fadeev-Marchenko (FM) Raum, sich asymptotisch wie das freie Standardsystem verhält. Die Dualität zwischen den beiden Typen von Hardy Unterräumen wird für die asymptotischen Untersuchungen dabei die Schlüsselrolle spielen. Unsere Vorbereitungsarbeiten zeigen, dass eine Lösung des Problems durch die Entwicklung einer modernen erweiterten Scattering Theorie, die für sich selbst interessant ist, möglich sein sollte. Genauer gesagt glauben wir, dass die traditionell verwendete FM Bedingung zu restriktiv ist, um die Klasse von CMV-Matrizen zu charakterisieren, für die eine eindeutige Scattering Darstellung existiert. Unsere wichtigsten Vermutungen sind: 1) Szegö-Blaschke Klasse: Die Klasse der zweiseitigen CMV- Matrizen, deren Spektraldichte der Szegö - und deren Punktspektrum der Blaschke Bedingung genügen, entspricht genau jener Klasse, für die das Scattering Problem gestellt und gelöst werden kann. Das heißt, zu einer gegebenen CMV-Matrix dieser Klasse kann man genau die Scattering Daten und den dazugehörigen FM Raum angeben. Die CMV Matrix entspricht dem Multiplikationsoperator in diesem Raum und die Orthonormalbasis verhält sich asymptotisch wie die Basis des sogenannten freien Systems. Die Koeffizienten in den Haupttermen der asymptotischen Darstellungen bilden die Scattering Daten. 2) A2 -Carleson Klasse: Vom Gesichtspunkt des Scattering Problems ist die natürlichste Klasse von CMV-Matrizen jene in der a) die Scattering Daten die Matrix eindeutig bestimmen und b) die assozierten Gelfand-Levitan-Marchenko Transformationsoperatoren beschränkt sind. Notwendige und hinreichende Bedingungen für diese Klasse können mithilfe von sogenannten A 2 Typ- Bedingungen gegeben werden.

Das Ziel des Projekts ist es, asymptotische Aussagen für Polynome herzuleiten, die auf sehr allgemeinen Mengen des Einheitskreises und bezüglich allgemeiner Maße orthogonal sind. Unter sehr allgemeinen Mengen verstehen wir dabei sogenannte homogene Mengen, die z. B. Mengen vom Cantor Typ umfassen, und unter allgemeinen Maßen solche, die ein "strenges`` absolut stetiges Spektrum und eine mögliche unendliche Zahl von Maßpunkten besitzen. Für allgemeine Mengen und Maße dieser Art erwarten wir, dass die assozierten CMV-Matrizen und somit die Verblunsky Koeffizienten asymptotisch fastperiodisch sind. Wir werden also mit Operatoren arbeiten, die durch fastperiodische CMV-Matrizen beschrieben werden können. Der Einfachheit halber demonstrieren wir unsere Ideen für den Fall, wenn das Spektrum ein Bogen des Einheitskreises ist, also die assozierte CMV-Matrix asymptotisch konstant ist. Zuerst stellen wir CMV-Matrizen mit konstanten Koeffizienten als Multiplikationsoperator in L2 bezüglich einer speziellen Basis dar. Dann zeigen wir, dass sich ein ähnliches Orthonormalsystem in einem gewissen "gewichteten`` Hilbert Raum, genannt Fadeev-Marchenko (FM) Raum, sich asymptotisch wie das freie Standardsystem verhält. Die Dualität zwischen den beiden Typen von Hardy Unterräumen wird für die asymptotischen Untersuchungen dabei die Schlüsselrolle spielen. Unsere Vorbereitungsarbeiten zeigen, dass eine Lösung des Problems durch die Entwicklung einer modernen erweiterten Scattering Theorie, die für sich selbst interessant ist, möglich sein sollte. Genauer gesagt glauben wir, dass die traditionell verwendete FM Bedingung zu restriktiv ist, um die Klasse von CMV-Matrizen zu charakterisieren, für die eine eindeutige Scattering Darstellung existiert. Unsere wichtigsten Vermutungen sind: 1) Szegö-Blaschke Klasse: Die Klasse der zweiseitigen CMV- Matrizen, deren Spektraldichte der Szegö - und deren Punktspektrum der Blaschke Bedingung genügen, entspricht genau jener Klasse, für die das Scattering Problem gestellt und gelöst werden kann. Das heißt, zu einer gegebenen CMV-Matrix dieser Klasse kann man genau die Scattering Daten und den dazugehörigen FM Raum angeben. Die CMV Matrix entspricht dem Multiplikationsoperator in diesem Raum und die Orthonormalbasis verhält sich asymptotisch wie die Basis des sogenannten freien Systems. Die Koeffizienten in den Haupttermen der asymptotischen Darstellungen bilden die Scattering Daten. 2) A2 -Carleson Klasse: Vom Gesichtspunkt des Scattering Problems ist die natürlichste Klasse von CMV-Matrizen jene in der a) die Scattering Daten die Matrix eindeutig bestimmen und b) die assozierten Gelfand-Levitan-Marchenko Transformationsoperatoren beschränkt sind. Notwendige und hinreichende Bedingungen für diese Klasse können mithilfe von sogenannten A 2 Typ- Bedingungen gegeben werden.