Kombinatorische Mengenlehre der reellen Zahlen

Ziel ist die Untersuchung einiger kombinatorischer Eigenschaften in der Mengenlehre der reellen Zahlen, einem Teilgebiet der mathematischen Logik. Die geplante Forschung hat Anwendungen in der Topologie, in der Algebra und in der Kombinatorik von Aleph_1. Zu den Untersuchungsgegenständen gehören: die Anzahl der Kohärenzklassen von Ultrafiltern, die Existenz von Untergruppen der Baer-Specker-Gruppe, die in einer Dimension beschränkt sind und in einer höheren Dimension unbeschränkt sind, und der Einfluss von Vorhersageprinzipien auf die Existenz von Souslin-Bäumen. In diesem Fragenkreis sind Unabhängigkeiten von ZFC sehr wahrscheinlich. Daher ist die Entwicklung von Forcingtechniken ein Hauptbestandteil dieses Projekts. Ich möchte auch kombinatorische Methoden bei der Untersuchung von Forcingkonstruktionen auf neue Eigenschaften hin betonen. Um zu entscheiden, ob eine Forcingerweiterung eine bestimmte Eigenschaft hat, muss möglicherweise die Forcinghalbordnung genauer spezifiziert werden, denn eine Forcingerweiterung erzeugt eine ganze Klasse von Modellen. Da diese Modellklassen axiomatisch beschrieben sind, können nach dem Gödel`schen Unvollständigkeitssatz Fragen, ob eine gewisse Aussage erzwungen wird, unentschieden bleiben. Die Kunst besteht darin, Forcingtechnologie mit den passenden kombinatorischen Techniken zu verknüpfen. In diesen vorgeschlagenen Themenkreisen beschreiben Kardinalzahlcharakteristiken wichtige kombinatorische Eigenschaften der jeweiligen ZFC-Modelle. Eine Kardinalzahlcharakteristik des Kontinuums beschreibt die kleinste Mächtigkeit einer Menge mit einer gewissen Eigenschaft, so dass normalerweise keine abzählbare Menge die betreffende Eigenschaft hat und mindestens eine Menge der Mächtigkeit des Kontinuums die Eigenschaft hat. Die Werte der meisten Kardinalzahlcharakteristiken sind unabhängig von ZFC.

Das Projekt gehört zum Gebiet der Mathematischen Logik, und hierin zum Teilgebiet Mengenlehre. Kombinatorische Fragen über die reellen Zahlen und über die Struktur der Teilmengen ersten überabzählbaren Kardinalzahl wurden bearbeitet und zum Teil vollständig beantwortet. Die allgemein akzeptierten Axiome für die Mathematik, d.h. die Zermelo-Fraenkel`schen Axiome ZFC, beantworten viele Entscheidungsfragen dieser Art weder mit ,,ja`` oder ,,nein``, sondern wie folgt, ,,In einem Modell von ZFC gilt die positive Antwort, in einem anderen Modell von ZFC gilt die negative Anwort``. In diesem Fall ist die Konstruktion geeigneter ZFC-Modelle die Hauptarbeit im Beweis. ZFC-Modelle sind unendliche Strukturen, die man sich so ähnlich wie Körper oder Gruppen aus der Algebra vorstellen kann, in denen alle ZFC-Axiome wahr sind. ZFC-Modelle können durch Erweiterung gegebener ZFC-Modelle mit der Forcingmethode erstellt werden. Forcing ist eine Technik zur Approxiation mit maßgeschneiderten Halbordnungen. Neue Forcing-Halbordnungen wurden entwickelt, und die resultierenden ZFC-Modelle werden auf die in ihnen gültigen kombinatorischen Wahrheiten hin untersucht. Besonders auf dem Gebiet der Axiom-A-Forcings, der definierbaren Forcings, der Erhaltungssätze und der Iterationen mit vielen fast disjunkten Mengen gelangen im Rahmen dieses Projekts einige Fortschritte. Etliche neue Modelle, in denen Vorhersageprinzipien zum Aufzählen aller Teilmengen in einer bestimmten geordneten Reihenfolge gelten, wurden mit Forcing konstruiert. Einige Konstellationen von Ultrafiltern auf den natürlichen Zahlen und von Untergruppen der Permutationsgruppe der natürlichen Zahlen wurden als relativ mit ZFC konsistent nachgewiesen. Wir entdeckten einige neue Baumerhaltungseigenschaften definierbarer Forcings.