Diskrete Resonanzen in nichtlinearen Wellensystemen

Dieses Projekt behandelt das Problem der Bildung von Mustern in nichtlinearen dispersiven Wellensystemen, die im allgemeinen von Euler-Gleichungen beschrieben werden. Wenn die Nichtlinearität (in einem gewissen wohl- definierten Sinn) klein ist, weist das Wellensystem meist stochastisches Verhalten auf und wird durch die kinetische Wellengleichung in der entsprechenden Zeitskala beschrieben. Unter bestimmten Einschränkungen (wenn ein Wellensystem periodische Grenzbedingungen hat) ist das Systemverhalten nicht mehr rein stochastisch und die Bildung regelmäßiger Muster (Cluster von resonant interagierenden Wellen) ist möglich. Diese Tatsache ergibt sich aus der Diskretheit des Wellen-Vektor-Spektrums; die Muster sind dann kleine Gruppen von Wellen, die oft auch periodischen Energieaustausch zwischen den Wellen einer Gruppe zeigen. In vielen nichtlinearen Wellensystemen existieren sowohl statistische als auch diskrete Dynamik, während es auch Wellensysteme gibt, bei denen nur die diskrete Dynamik wichtig ist. Kürzlich wurden spezielle numerische Algorithmen entwickelt, um diskrete Resonanzen für eine große Klasse von dispersiven Wellensystemen zu berechnen. Es ist auch bekannt, dass in diesen Systemen Resonanzen eine wichtige Rolle in der kurzfristigen Vorhersage der Evolution des Wellenfelds (zum Beispiel bei Meeresoberflächenwellen) spielen. Dies ist unsere Motivation für ein vertiefendes Studium der Struktur der Resonanzen. Das Gesamtziel des Projekts ist die Untersuchung der Struktur von diskreten Clustern, die durch Resonanzen gebildet werden, mit Fokus auf den Fall der zweidimensionalen dispersiven Wellen, zum Beispiel Gravitationsoberflächenwellen, planetatische Meeres- und Atmosphärenwellen, Driftwellen im Plasma, etc. Wir planen, eine Klassifikation der möglichen Muster durch Zusammensetzung von Basiselementen zu entwickeln, analog zur Diagrammtechnik in der Quantenmechanik. Wir sind auch an den Eigenschaften diskreter quasi-Resonanzen interessiert, die Resonanzbedingungen mit einer gegebenen nicht-verschwindenden Resonanzweite erfüllen. Wir werden dazu explizit Bedingungen beschreiben, die für das Auftreten von diskreten quasi-Resonanzen notwendig sind, wie sie durch die Form der Dispersionsfunktion bestimmt sind. Dieses Problem ist von großer Wichtigkeit, um das Zusammenspiel zwischen diskreter und statistischer Dynamik zu verstehen. Vom Projekt erwarten wir: (1) eine allgemeine Klassifikation von diskreten Mustern, die aufgrund von exakten Resonanzen auftreten; (2) die Entwicklung eines speziellen Algorithmus zur Berechnung aller verschiedenen Muster und der entsprechenden dynamische Systeme; (3) die Beschreibung der Hauptcharakteristiken von Resonanzkaskaden (Spektrum-Anisotropie, "pure scale" Kaskaden, "mixed scale-angle" Kaskaden, etc.); (4) die konstruktive, globale und lokale, Abschätzung der Resonanzweite, damit quasi-Resonanzen bei verschiedenen Wellentypen auftreten können; (5) ein Programmpaket in MATHEMATICA, um Resonanzen in nichtlinearen Wellensystemen studieren zu können. Da die Ergebnisse eine Basis für die Modellierung einiger bekannter physikalischer Phänomene darstellen, werden sie auch in Hinblick auf Anwendungen interessant sein.

Im Laufe dieses Projektes hat E. Kartashova eine allgemeine Theorie der nichtlinearen Resonanzen entwickelt. Diese Theorie kann in vielen praktischen Bereichen angewendet werden und ist im ihrem Buch "Nonlinear Resonance Analysis: Theory, Computation, Applications", das im renommierten Cambridge University Press erschienen ist, systematisch dargestellt. Das wichtige Phänomen der Resonanzen wurde im 19. Jahrhundert von dem berühmten französischen Mathematiker H. Poincaré mathematisch erfasst. Er hat das Problem, Differenzialgleichungen mit Resonanzen zu behandeln, als "das grundsätzliche Problem der Dynamik" bezeichnet. Dieses Problem stammt zwar aus dem Bereich der Differentialgleichungen, ist aber nur durch die Anwendung von Methoden aus der Zahlentheorie zu lösen und wurde in der Tat bisher noch nicht gelöst. Die Theorie von Kartashova erlaubt es, resonante Lösungen zu finden; ihre Methode ist unabhängig vom Anwendungsgebiet, in dem eine Differenzialgleichung entwickelt wird - sei es in der Physik, Chemie, Medizin oder der Wirtschaftstheorie. Zwei der wichtigsten wissenschaftlichen Ergebnisse von Kartashova sind die Konstruktion von Modellen für Intrasaisonschwingungen in der Erdatmosphäre (relevant für die Klimavoraussagbarkeit) und die Entdeckung der diskreten turbulenten Wellenregime (entscheidend für das Verstehen unterschiedlicher Laborexperimente in der Hydrodynamik). Weitere mögliche Anwendung vor dieser Theorie liegt in der Entwicklung eines mathematischen Modells für die Entstehung von Riesenwellenformationen etwa im Ozean. Ein anderer wichtiger Aspekt dieser Arbeit besteht in der Entwicklung einer interaktiven On-Line-Enzyklopädie über die Theorie von nichtlinearen Resonanzen und ihren Anwendungen, mit eingebauten Programmen, um einige veranschaulichende Beispiele von Resonanzen zu berechnen. On-Line-Enzyklopädie ist eine wichtige Ergänzung für die Kurse an Theorie der nichtlinearen Resonanzen, die von E. Kartashova an der J. Kepler Universität, Linz, seit 2005 ausgeführt ist.