Arithmetik von nicht-noetherschen Bereichen und Monoiden

Ein Integritätsbereich heißt atomisch, wenn jede von Null verschiedene Nichteinheit eine Faktorisierung in ein Produkt von endlich vielen unzerlegbaren Elementen (Atomen) besitzt. Ist darüber hinaus jede solche Faktorisierung bis auf die Reihenfolge der Faktoren und den Übergang zu Assoziierten eindeutig, so heißt der Integritätsbereich faktoriell. Bekanntlich ist jeder Bereich, der die aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale erfüllt, atomisch. Es ist jedoch bei Weitem nicht jeder atomische Bereich faktoriell, sondern dies stellt eher den Ausnahmefall dar. Die Theorie der nicht-eindeutigen Faktorisierungen beschäftigt sich mit der Beschreibung der und Klassifikation der Nichteindeutigkeitsphänomene welche bei Zerlegungen in Atome in einem gegebene atomischen Integritätsbereich auftreten können. Die Menge der verschiedenen Längen von Faktorisierungen eines gegebenen Elements nennt man seine Längenmenge. Die bisher meistuntersuchte Invariante nicht-eindeutiger Faktorisierungen ist das System aller Längenmengen eines Integritätsbereiches. Für viele Klassen arithmetisch interessanter Integritätsbereiche (z.B. Ordnungen in algebraischen Zahlkörpern) kennt man die Struktur der Längenmengen: Sie bestehen aus einem sich oft wiederholenden Muster mit einer beschränkten Anzahl von Lücken am Anfang und am Ende. Insbesondere sind die Abstände von benachbarten Punkten in den Längenmengen beschränkt. Man sagt daher, dass die Differenzenmenge des betreffenden Integritätsbereiches endlich ist. In diesem Projekt werden u.a. Faktorisierungseigenschaften von ganzwertigen Polynomen über den rationalen Zahlen bzw. algebraischen Zahlkörpern untersucht. Ein Polynom in einer Variablen über den rationalen Zahlen heißt ganzwertig, wenn die zugehörige Polynomfunktion jede ganze Zahl auf eine ganze Zahl abbildet. Die Menge aller ganzwertigen Polynome bildet dann einen atomischen Integritätsbereich. Bisherige arithmetische Untersuchungen dieses und verwandter Bereiche ganzwertiger Polynome lassen vermuten, dass es vielfältige und interessante Phänomene nichteindeutiger Faktorisierungen gibt. Ziel des Projektes ist es, diese Phänomene systematisch zu studieren. Hierbei soll auf die zahlreichen idealtheoretischen Untersuchungen von ganzwertigen Polynomringen, die in der Vergangenheit durchgeführt wurden, aufgebaut werden.

Ein Integritätsbereich heißt atomisch, wenn jede von Null verschiedene Nichteinheit eine Faktorisierung in ein Produkt von endlich vielen unzerlegbaren Elementen (Atomen) besitzt. Ist darüber hinaus jede solche Faktorisierung bis auf die Reihenfolge der Faktoren und den Übergang zu Assoziierten eindeutig, so heißt der Integritätsbereich faktoriell. Bekanntlich ist jeder Bereich, der die aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale erfüllt, atomisch. Es ist jedoch bei Weitem nicht jeder atomische Bereich faktoriell, sondern dies stellt eher den Ausnahmefall dar. Die Theorie der nicht-eindeutigen Faktorisierungen beschäftigt sich mit der Beschreibung und der Klassifikation der Nichteindeutigkeitsphänomene welche bei Zerlegungen in Atome in einem gegebenen atomischen Integritätsbereich auftreten können. Die Menge der verschiedenen Längen von Faktorisierungen eines gegebenen Elements nennt man seine Längenmenge. Die bisher meistuntersuchte Invariante nicht-eindeutiger Faktorisierungen ist das System aller Längenmengen eines Integritätsbereiches. Für viele Klassen arithmetisch interessanter Integritätsbereiche (z.B. Ordnungen in algebraischen Zahlkörpern) kennt man die Struktur der Längenmengen: Sie bestehen aus einem sich oft wiederholenden Muster mit einer beschränkten Anzahl von Lücken am Anfang und am Ende. Insbesondere sind die Abstände von benachbarten Punkten in den Längenmengen beschränkt. Man sagt daher, dass die Differenzenmenge des betreffenden Integritätsbereiches endlich ist. Das Ziel dieses Projektes war es, Faktorisierungseigenschaften von ganzwertigen Polynomen, gewissen Rees Ringen sowie speziellen Mori Bereichen und v-noetherschen Monoiden zu untersuchen. Bisherige arithmetische Untersuchungen dieser Objekte ließen vermuten, dass es hierin vielfältige und interessante Phänomene nichteindeutiger Faktorisierungen gibt. Ziel des Projektes war es, diese Phänomene systematisch zu studieren. Da das Projekt in einer frühen Phase abgebrochen wurde, konnten nur Untersuchungen an Moribereichen bzw. v- noetherschen Monoiden durchgeführt werden, die jedoch zu neuen Einsichten über die Struktur dieser Objekte geführt haben.