Multivariate nichtlineare Unterteilungsalgorithmen

Das Ziel eines Unterteilungsalgorithmus ist das Erzeugen von stetigen oder sogar glatten Objekten aus discreten Daten. Die mathematischen Methoden, die in diesem Zusammenhang Anwendung finden, reichen von Approximationstheorie und Numerik bis zur Differentialgeometrie. Prominente Anwendungen finden sich in der geometrischen Datenverarbeitung und Computergraphik, und multivariate Unterteilungsalgorithmen sind ein aktuelle Thema der Forschung. The verfügbare Theorie zur Analyse von Unterteilungsalgorithemn kann im linearen und regulären (Gitter-)Fall als vollständig betrachtet werden, während der irreguläre Fall erst vor nicht allzu langer Zeit gelöst wurde. In Hinblick auf die vielfältigen Anwendungen ist es nur natürlich, dass Unterteilungsalgorithmen auf nichtlineare Geometrien verallgemeinert wurden - auf Flächen und Riemmansche Mannigfaltigkeiten, Liegruppen und symmetrische Räume, oder den euklidischen Raum mit Hindernissen. Verschiede Arten der Analogiebildungen (Mittel-Analogie und log/exp-Analogie) erlauben die Definition von Unterteilungsalgorithmen auch in diesen Fällen, aber die dazugehörige Analysis ist eine neue Herausforderung. Dieses Forschungsprojekt setzt das Studium von nichtlinearen Unterteilungsalgorithmen mit Hilfe von Proximitätsmethoden fort, welche sich in der letzten Zeit als ein erfolgreicher Zugang zu geometrischen Unterteilungsalgorithmen etabliert haben. Wir untersuchen den multivariaten regulären Fall, höhere glattheit, Regularität und andere Themen. Anwendungen in Graphik und Bildverarbeitung werden nicht vernachlässigt: Neue Methoden der Datengewinnung wie Diffusion Tensor Imaging erzeugen Daten, die nicht mehr in einem Vektorrau, sondern in einer Geometrie höherer Komplexität liegen. An dieser Stelle sind Unterteilungsalgorithmen und dazugehörige Wavelet-artige Transformationen nützlich.

Unterteilungsalgorithem dienen der iterativen Verfeinerung von diskreten Daten mit dem Ziel eines stetigen oder sogar glatten Limes. Dieses Prinzip wird z.B. in der Computergraphik und Animation angewandt, wo Formen durch Unterteilungsprozesse aus einigen wenigen Kontrollpunkten gewonnen werden. Andere Anwendungsgebiete sind in der Mathematik, insbesondere der Signalverarbeitung, zu finden, was auf die Zusammenhänge zwischen Unterteilungsregeln und Wavelets zurückgeht. In allen diesen Fällen sind einfache Unterteilungsregeln die Bausteine von Prozeduren zum Modellieren und der Analyse von Daten. Dieses Forschungsprojekt studiert Nichtstandard-Daten, wie sie, um nur zwei Beispiele zu nennen, von Diffusionstensor-MRI oder Flugschreibern geliefert werden. Eine Instanz der Daten ist hier beispielsweise ein Diffusions-Ellipsoid, oder die Position eines Körpers im Raum. Jedenfalls leben diese Daten auf natürliche Weise in Mannigfaltigkeiten mit einer ausgezeichneten geometrischen Struktur. Jede Prozedur zu ihrer Analyse muss diese Struktur respektieren und kann nicht einfach auf den Zahlenreihen operieren, die aus Messungen gewonnen werden. Glücklicherweise sind die meisten Unterteilungsalgorithmen aus einfachen Operationen wie Mittelpunkts- oder Schwerpunktsbildung zusammengesetzt, welche auf kanonische Art und Weise in die Mannigfaltigkeiten übertragen werden können, die die betrachteten Daten enthalten (z.B. Liegruppen oder Riemannsche oder allgemeinere metrische Räume). Das Ziel dieses Forschungsprojektes ist die mathematische Analyse der auf die oben beschriebene Weise modifizierten Unterteilungsprozesse hinsichtlich ihrer Konvergenz, Formeigenschaften und Glattheit, Stabilität, und hinsichtlich der Anwendung von Unterteilungsalgorithmen auf die Multiskalen-Darstellungen von Daten. Wir haben Resultate in allen diesen Bereichen erzielt, und an vielen Stellen frühere Vermutungen bestätigt, dass Unterteilungsalgorithmen in Mannigfaltigkeiten Eigenschaften mit ihren linearen Vorbildern teilen. Zum Beispiel kann man nach wie vor Glattheitseigenschaften von Daten an der Abklingrate von Detailkoeffizienten in `lazy wavelet`-Darstellungen ablesen. Andere Aspekte bleiben beim Transfer in die nichtlinere Situation auf der Strecke: z.B. können Multiskalen-Darstellungen im Allgemeinen nicht mehr auf Redundanz verzichten. Das Studium der Konvergenz an sich (welche allen anderen Untersuchungen vorausgehen muss) ist ein eigenes Thema, in dem wir mit vollkommen anderen (stochastischen) Methoden Resultate erzielt haben.