Abbildungsprobleme in der analysis mehrer komplexer Veränder

Abbildungsprobleme beschäftigen sich mit den Eigenschaften holomorpher Abbildungen, die eine reelle Submannigfaltigkeit einer komplexen Mannigfaltigkeit in eine andere reelle Submannigfaltigkeit einer (u.U. anderen) komplexen Mannigfaltigkeit überführen. Abbildungsprobleme spielen in der Komplexen Analysis mehrerer Veränderlicher seit dem frühen zwanzigsten Jahrhundert eine wichtige Rolle, als H. Poincaré bemerkte, daß reelle Hyperflächen im zweidimensionalen komplexen (euklidischen) Raum nichttriviale Invarianten unter solchen holomorphen Abbildungen haben. Das führte zur kompletten Klassifizierung von Levi-nichtdegenerierten Hyperflächen im Laufe des letzten Jahrhunderts. Eines der Probleme in der Anwendung der so gewonnen Erkenntnisse in der Analysis ist allerdings, daß die dort auftretenden Singularitäten weit vielfältiger sind als jene, die Levi- nichtdegenerierte Hyperflächen besitzen. Über die letzten Jahre haben sich deswegen einige vielversprechende Ansätze herausgebildet, die es uns ermöglichen, die Struktur der Abbildungen zwischen reellen Submannigfaltigkeiten komplexer Räume auch unter wesentlich allgemeineren Vorraussetzungen durchzuführen. In diesem Projekt werden wir die zugrundeliegenden Ideen, das "Finite Jet Determination Problem" und das "Finite Jet Parametrization Problem" weiter untersuchen. Wir werden uns auch mit der Fragestellung der Struktur holomorpher Abbildungen zwischen reellen Submannigfaltigkeiten in komplexen Räumen verschiedener Dimension beschäftigen, insbesondere mit eigentlichen, rationalen Abbildungen ihrer Einheitsbälle.

Das Ziel des Projekts war es, holomorphe Abbildungen zwischen reellen Submannigfaltigkeiten in komplexen Räumen auf ihre Eigenschaften zu untersuchen. Dies ist ein zutiefst geometrisches Problem: Man hat eine Menge von Objekten, und fragt sich, welche "strukturerhaltenden" Abbildungen es für diese Menge von Objekten gibt. Es stellt sich heraus, dass in unserem Fall solche Abbildungen in vielen Fällen durch endlich viele Daten beschrieben werden können: Mit anderen Worten, die Objekte sind sehr "starr". Im Rahmen des Projekts konnte die Familie von reellen Submannigfaltigkeiten, für die dies zutrifft und welche überdies minimal sind, durch eine geometrische Eigenschaft (die "holomorphe Nichtdegeneriertheit") charakterisiert werden. Dies stellt in manchem Sinn einen Endpunkt einer Entwicklung dar, wirft aber auf der anderen Seite viele neue Fragen auf und zeigt auch Anwendungsbereiche für die neu entwickelten Techniken.