Torsion von Mannigfaltigkeiten

Dies ist ein Antrag für ein FWF Projekt das an der Fakultät für Mathematik der Universität Wien stattfinden soll. Das Ziel ist, die Torsion von Mannigfaltigkeiten aus verschiedenen Perspektiven zu untersuchen. Einerseits gibt es das wohlverstandene Konzept der kombinatorischen Torsion, das beispielsweise mit Hilfe eines Morse-Smale Vektorfeldes definiert werden kann. Die Ray-Singer Torsion, andererseits, ist mit Hilfe von Analysis definiert. Nach einem Resultat von Cheeger, Müller und Bismut-Zhang berechnet die Ray-Singer Torsion im Wesentlichen den Absolutbetrag der kombinatorischen Torsion. Mit Hilfe von nicht-selbstadjungierten Laplaceoperatoren haben wir unlängst eine komplexwertige analytische Torsion eingeführt, die die volle kombinatorische Torsion berechnet. Wir wollen diese komplexwertige analytische Torsion weiter untersuchen, das entsprechende Cheeger-Müller Theorem in voller Allgemeinheit zeigen, und eine Verallgemeinerung für Bordismen entwickeln. Ein anderer Aspekt der Torsion an dem wir interessiert sind, ist der von Freed initiierte Zugang mittels Gradienten von kreiswertigen Morse Funktionen. Erfüllt so ein Vektorfeld eine exponentielle Wachstumsbedingung, ist es möglich eine dynamische Torsion zu definieren. Diese enthält einen zusätzlichen Term, der durch die Zetafunktion der geschlossenen Trajektorien gegeben ist. In einfachen Situationen konnten wir zeigen, dass diese dynamische Torsion mit der kombinatorischen überein stimmt. Wir wollen diesen Zusammenhang in voller Allgemeinheit etablieren. Das vorgeschlagene Projekt würde es ermöglichen zwei Doktoratsstudenten anzustellen, die in diesem Themenkreis tätig wären.

Ziel dieses Forschungsprojekts war es eine gewisse Verbindung zwischen der Geometrie und Topologie glatter Mannigfaltigkeiten zu untersuchen. Mannigfaltigkeiten sind höher dimensionale Verallgemeinerungen von Kurven und Flächen. Die Oberfläche eines Donuts, der glatt im drei-dimensionalen Raum eingebettet liegt, bietet ein gutes intuitives Bild. Der entscheidende Punkt ist, dass Mannigfaltigkeiten lokal wie der vertraute Euklidische Raum aussehen, ihre globale Gestalt kann jedoch wesentlich verwickelter sein. Auf Mannigfaltigkeiten lässt sich (koordinatenfreie) Analysis betreiben, daher ist dieses Konzept für die (Natur)wissenschaften von fundamentaler Bedeutung. Die oben erwähnte Verbindung zwischen Geometrie und Topologie wird durch eine Gleichheit zweier, scheinbar unabhängiger Zahlen ausgedrückt. Viele ähnliche Zusammenhänge wurden bisher entdeckt und untersucht, die Euler Charakteristik liefert ein prototypisches Beispiel: Betrachten wir eine geschlossene (d.h. endlich und ohne Rand) Fläche im drei-dimensionalen Raum, so können wir jedem Punkt der Fläche eine Krümmung zuordnen, sie liefert ein Maß dafür, wie weit die Fläche in diesem Punkt davon abweicht flach zu sein. Obwohl diese Krümmungsfunktion sehr stark von der Einbettung abhängt, stimmt ihr Mittelwert stets mit der Euler Charakteristik, F-E+V, überein. Dabei bezeichnet F die Anzahl der Dreiecke, E die Anzahl der Kanten und V die Anzahl der Ecken einer Triangulierung (Kachelung) der Fläche. Diese verblüffende Tatsache ist als Gauß-Bonnet- Chern Theorem bekannt. Es erklärt unter anderem, warum der Mittelwert der Krümmung unabhängig von der Einbettung ist, und warum die Zahl F-E+V nicht von der Triangulierung abhängt. Die Invariante, die wir untersucht haben wird als Torsion bezeichnet und hängt eng mit der Euler Charakteristik zusammen. Die Reidemeister Torsion ist eine komplexe Zahl, die sich mit Hilfe einer Triangulierung berechnen lässt. Die Ray-Singer Torsion andererseits ist eine positive reelle Zahl, die mit Hilfe des Spektrums des Laplace- deRham Operators definiert wird, ein Differentialoperator mit enger Beziehung zur Geometrie. Sein Spektrum besteht aus einer diskreten unendlichen Menge von Frequenzen, ähnlich denen, die bei einem Paukenschlag zu hören sind. Ein berühmtes Resultat von Cheeger, Müller und Bismut-Zhang besagt, dass die Ray-Singer Torsion mit dem Absolutbetrag der Reidemeister Torsion überein stimmt, und liefert somit einen tiefen Zusammenhang zwischen Geometrie und Topologie. Nichts von dem bisher Erwähnten ist neu. Was wir in diesem Forschungsprojekt tatsächlich untersucht haben, ist ein komplex-wertiges Analogon der Ray-Singer Torsion, das die gesamte Reidemeister Torsion (ihren Absolutbetrat und ihre Phase) durch Spektralgeometrie ausdrückt. Unsere Resultate können als Straffung eines bereits bekannten Zusammenhangs zwischen Geometrie und Topologie verstanden werden.