Gebietsdekompositionsmethoden mit finiten und Randelementen

Gebietsdekompositionsmethoden (DD-Methoden) werden heute nicht nur zur Konstruktion paralleler Algorithmen für partielle Differentialgleichungen, sondern auch zur Kopplung verschiedener physikalischer Felder und verschiedener Diskretisierungstechniken genutzt. So haben zum Beispiel die Finite-Elemente-Methode (FEM) und die Randelementmethode (BEM) gewisse komplementäre Eigenschaften. Folglich ist es nicht verwunderlich, dass die Kopplung von FEM und BEM innerhalb einer DD-Strategie in vielen praktischen Anwendungen sehr erfolgreich genutzt wurde. Unter den DD-Methoden sind die sogenannten FETI-Methoden (Finite Element Tearing and Interconnecting Methods) sicherlich die erfolgreichsten Gebietsdekompositionstechniken, zumindest zur Lösung sehr großdimensionierter Probleme auf massiv parallelen Rechnern. Die Antragsteller haben kürzlich dateneffiziente BETI-Methoden (Boundary Element Tearing and Interconnecting Methods) als Randelementanaloga der inzwischen etablierten FETI-Methoden sowie gekoppelte BETI-FETI-Methoden zur Lösung gewisser Klassen von Modellproblemen wie Potentialprobleme und lineare Elastizitätsprobleme eingeführt. Im vorliegenden Projekt schlagen wir vor, neue DD-Löser für großdimensionierte Gleichungssysteme, die bei der FEM, BEM und gekoppelten FEM-BEM Diskretisierung von linearen und nichtlinearen Problemen der Magnetostatik als auch von Wirbelstromproblemen im Zeit- und Frequenzbereich entstehen, zu konstruieren und zu analysieren. Die numerische Behandlung nichtlinearer Wirbelstromprobleme im Frequenzbereich ist wesentlich komplizierter als im linearen Fall. Der Fourier-Reihen- oder multiharmonische Ansatz ist eine mögliche Technik, um nichtlineare Wirbelstromprobleme erfolgreich zu behandeln. Die Entwicklung von schnellen Lösungsverfahren und insbesondere von effizienten DD Lösern für die aus dem multiharmonischen Ansatz resultierenden großdimensionierten nichtlinearen Gleichungssysteme ist eine wissenschaftliche Herausforderung dieses Projekts mit großer praktischer Bedeutung. Die im Projekt zu entwickelnden neuen numerischen Algorithmen werden sicherlich ganz wesentlich die Entwicklung einer neuen CEM (Computational Electromagnetics) Softwaregeneration beeinflussen.

Gebietsdekompositionsmethoden (DD-Methoden) werden heute nicht nur zur Konstruktion paralleler Algorithmen für partielle Differentialgleichungen, sondern auch zur Kopplung verschiedener physikalischer Felder und verschiedener Diskretisierungstechniken genutzt. So haben zum Beispiel die Finite-Elemente-Methode (FEM) und die Randelementmethode (BEM) gewisse komplementäre Eigenschaften. Folglich ist es nicht verwunderlich, dass die Kopplung von FEM und BEM innerhalb einer DD-Strategie in vielen praktischen Anwendungen sehr erfolgreich genutzt wurde. Unter den DD-Methoden sind die sogenannten FETI-Methoden (Finite Element Tearing and Interconnecting Methods) sicherlich die erfolgreichsten Gebietsdekompositionstechniken zumindestens zur Lösung sehr großdimensionierter Probleme auf massiv parallelen Rechnern. Die Antragsteller haben die BETI-Methoden (Boundary Element Tearing and Interconnecting Methods) als Randelementanaloga der inzwischen etablierten FETI-Methoden als auch gekoppelte BETI- FETI-Methoden zunächst zur Lösung von Potentialproblemen und von Randwertproblemen der linearen Elastizitätsprobleme eingeführt. Im durchgeführten FWF Projekt wurden zum einen die BETI-Methoden auf die für die Elektrotechnik typischen curl-curl Probleme erweitert. In einem Dissertationsprojekt ist es gelungen, auch für die schwierigeren Helmholtz-artigen Probleme im Frequenzbereich neue, stabile und effiziente BETI-Verfahren zu konstruieren und zu analysieren. Zum anderen wurden Wirbelstromprobleme, die für niedrigfrequente Anwendungen in der Elektrotechnik typisch sind, betrachtet. In einem zweiten Dissertationsprojekt wurde die multiharmonische FEM nicht nur zur Simulation von linearen und nichtlinearen, zeitperiodischen Wirbelstrom- problemen, sondern auch zur optimalen Steuerung von derartigen Wirbelstromproblemen betrachtet. Hier erweist sich der multiharmonische FEM-Zugang als eine besonders effektive Methode zur Lösung des Optimalitätsystems, da das zeitlich vorwärtige, primale Wirbel- stromproblem mit dem zeitlich rückwärtigen, adjungierten Wirbelstromproblem koppelt. Es ist gelungen, robuste und gleichzeitig bezüglich der Komplexität asymptotisch optimale bzw. fast optimale Präkonditionierer zu konstruieren, die zu hocheffizienten, parallelen iterativen Auslösungsverfahren für die entstehenden großdimensionierten Gleichungssysteme führen. Analoge Resultate wurden für zeitperiodische parabolische Probleme erzielt. In diesem Falle werden Präkonditionierer für elliptische Potentialprobleme (Diffusionsprobleme) benötigt. Die Springer-Monographie Finite and Boundary Element Tearing and Interconnecting Solvers for Multiscale Problems von C. Pechstein leistet dazu fundamentale Beiträge. Die im Projekt entwickelten neuen numerischen Algorithmen wurden nicht nur zu Testzwecken implementiert, sondern zumindest teilweise in Praxisprojekten mit dem ACCM in Linz und mit ABB innerhalb eines laufenden EU-Projektes überführt. In diesen Projekten geht es um die Simulation und Optimierung von Produkten der Elektrotechnik.