Operator Eigenschaften für das d-quer Neumann-Problem

Die d-quer Gleichung auf einem gewichteten L^2-Raum kann mit einem Schrödinger Operator mit Magnetfeld auf R^2 in Verbindung gebracht werden. Es gilt: der kanonische Lösungsoperator für d-quer ist genau dann kompakt als Operator auf einem gewichteten L^2-Raum, wenn der entsprechende Schrödinger Operator mit Magnetfeld eine kompakte Resolvente besitzt. Eine vollständige Charakterisierung aller Gewichtsfunktionen mit der Eigenschaft, dass der kanonische Lösungsoperator kompakt ist, ist noch ausständig, sogar im komplex-eindimensionalen Fall. Diese Problemstellung kann mit verschiedenen Methoden behandelt werden: Komplexe Analysis, Brown`sche Bewegung und Potentialtheorie, sowie Spektraltheorie von Schrödinger Operatoren. Im polynomialen Fall können Resutate von Helffer-Nourrigat verwendet werden, im nicht-polynomialen Fall werden Methoden von Helffer-Mohamed und Kondratiev-Shubin zumindest Teilresultate ergeben. Für beschränkte pseudokonvexe Gebiete impliziert die Kompaktheit des d-quer Neumann Operators globale Regularität im Sinne der Bewahrung von Sobolew Räumen. Es ist nicht klar, was die Kompaktheit des Lösungsoperators für d-quer für gewichtete L^2-Räume ergibt. Eine gewisse Verschärfung für die Abschätzung der Lösung könnte dabei herauskommen. Im Falle mehrerer komplexer Veränderlicher ist der Zusammenhang zwischen dem d-quer Neumann Problem und Schrödinger Operatoren mit Magnetfeld um vieles komplizierter. Erste Versuche für spezielle Gewichte sind bereits ausgeführt. Vielversprechend ist der Versuch, geeignete Bedingungen an die Levi-Matrix der Gewichtsfunktion zu finden, welche die Kompaktheit des Lösungsoperators für die d-quer Gleichung implizieren, dabei sind Methoden aus der Spektraltheorie für Schrödinger Operatoren besonders wichtig. Weiters ist es interessant zu klären, wie die Kompaktheit der Einschränkung auf Formen mit holomorphen Koeffizienten schon die Kompaktheit des ursprünglichen Lösungsoperators für d-quer impliziert. Dies ist der Fall bei konvexen Gebieten. Es gibt auch viele Beispiele für Nicht-Kompaktheit, wo die Obstruktion bereits für Formen mit holomorphen Koeffizienten auftritt. Die Kommutatoren zwischen der Bergman-Projektion und Multiplikationsoperatoren mit z_j quer, für j=1,..., n, sind genau dann kompakt auf L^2, wenn die Einschränkung des kanonischen Lösungsoperators von d-quer auf (0,1)-Formen mit holomorphen Koeffizienten kompakt ist. Eine interessante Frage ist es, unter welchen zusätzlichen Bedingungen an die Kommutatoren man schon die Kompaktheit des Lösungsoperators auf ganz L^2 erhält. Speziell für unbeschränkte Gebiete weiß man, mit wenigen Ausnahmen, nichts in der Frage der Kompaktheit des kanonischen Lösungsoperators zu d-quer. In diesem Zusammenhang ergeben sich auch interessante Fragestellungen, die den tangentiellen Cauchy-Riemann Operator betreffen. Hier hat man es mit dem Lösen der tangentiellen Cauchy-Riemann`schen Gleichungen zu tun und zwar so, dass die Lösung zum orthogonalen Komplement des entsprechenden Hardy Raumes gehört. Ist das Gebiet unbeschränkt, dann ist der Bildbereich von d-quer-b nicht abgeschlossen im L^2 und der Lösungsoperator daher nicht beschränkt auf L^2. Aus diesem Grund muss man geeignete Gewichte finden, um die operatortheoretischen Eigenschaften der Lösung für d-bar-b beschreiben zu können. Die Themenstellung des Antrages passt sehr gut in den Rahmen des ESI-Programmes "Complex Analysis, Operator Theory, and Applications to Mathematical Physics", das im Herbst 2005 am Erwin Schrödinger Institut stattfand und in einem follow-up Programm im Herbst 2006 fortgesetzt wird. Dieses Programm wird vom Antragsteller gemeinsam mit Emil Straube (Texas A & M University) und Harald Upmeier (Universität Marburg) organisiert.

Das Projekt ist an der Schnittstelle von komplexer Analysis mehrerer Veränderlicher mit Funktionalanalysis, partiellen Differentialgleichungen und Potentialtheorie angesiedelt. Die Hauptaufgabe bestand darin, operatortheoretische Eigenschaften des kanonischen Lösungsoperators der inhomogenen Cauchy-Riemann`schen Differentialgleichungen zu untersuchen, welche in der komplexen Analysis von besonderer Bedeutung sind. Der Startpunkt des Projektes war ein Resultat über den kanonischen Lösungsoperator der inhomogenen Cauchy- Riemann`schen Differentialgleichungen, welches mit Methoden der reellen Analysis bewiesen wurde, und zwar mittels Spektraltheorie von Schrödinger und Witten-Laplace Operatoren. Während des Projektes stellte es sich heraus, wie man dieses Resultat mit komplexer Analysis verstehen kann. Dazu war es wesentlich, einen passenden gewichteten Sobolew Raum zu definieren, um ein geeignetes Rellich Lemma für die Frage der Kompaktheit des kanonischen Lösungsoperators zu erhalten. Letztendlich fanden wir, dass eine abstrakte Charakterisierung präkompakter Teilmengen in L^2 Räumen der richtige Ansatz ist, um die Kompaktheit des d-quer Neumann Operators und des kanonischen Lösungsoperators der inhomogenen Cauchy-Riemann`schen Differentialgleichungen zu beschreiben. In diesem Zusammenhang sind zwei Punkte besonders wichtig: die Garding`sche Ungleichung für elliptische Differentialgleichungen und das Verhalten im Unendlichen der Eigenwerte der Levi-Matrix der Gewichtsfunktion. Klaus Gansberger beendete sein Dissertation im Rahmen des Projektes. Er beschreibt darin interessante Anwendungen der komplexen Analysis auf die Spektraltheorie von Schrödinger Operatoren mit Magnetfeld und auf Pauli- und Dirac Operatoren. Er erläutert auch das Zusammenspiel zwischen Randverhalten und Verhalten im Unendlichen beim d-quer Neumann Operator auf gwichteten L^2 Räumen von unbeschränkten Gebieten. Anne-Katrin Herbig untersuchte die Konsequenzen, wenn ein Gebiet in C^n eine definierende Funktion besitzt, welche am Rand des Gebietes plurisubharmonisch ist, insbesondere für den sogenannten Diederich-Fornaess Exponenten. Während des Projektes wurden vom Projektleiter drei internationale Konferenzen und Workshops über die Thematik des Projektes organisiert: am Banach Center in Warschau (40 Teilnehmer), am Erwin Schrödinger Institut in Wien (100 Teilnehmer) und am CIRM, Luminy, Marseille (30 Teilnehmer).