Restringierte Optimierung mit geometrischen Objekten

Die Optimierung geometrischer Objekte ist durch die zunehmende Verfügbarkeit geometrischer Daten in unterschiedlichsten Bereichen - von den Neurowissenschaften bis zu den Geowissenschaften - von besonderem Interesse. Motiviert durch die im FWF Projekt "Geometrische Optimierung beweglicher und formbarer Objekte" erzielten Ergebnisse möchten wir die Forschungsarbeiten zu dieser Thematik in einem Folgeprojekt fortsetzen und erweitern. Im neuen Projekt konzentrieren wir unsere Forschung auf zwei Themenbereiche. Im ersten Bereich studieren wir die restringierte Positionierung oder Verformung geometrischer Objekte wie Kurven, Kurvennetzwerke, B-spline Flächen, und triangulierte Punktwolken. Die Restriktionen sind dabei von geometrischer Natur. Wir betrachten zum Beispiel die Optimierung von Kurvennetzwerken in der Gegenwart von Hindernissen, die einseitige Approximation von Punktwolken mit B-spline Flächen, die starre Registrierung von 3D Objekten ohne gegenseitige Druchdringung, und die Berechnung von energieminimierenden Kurven auf Flächen, welche in Bereichen der Fläche mit hoher mittlerer Flächenkrümmung liegen müssen. Im zweiten Themenbereich arbeiten wir an einer neuen Formulierung der Optimierungsaufgaben, indem wir die gängige L2 Norm (Summe der quadrierten Fehlerterme) durch die L1 Norm (Summe der Fehlerterme) ersetzen. Dies führt zu nichtdifferenzierbaren Optimierungsaufgaben, da die L1 Norm nicht überall differenzierbar ist. Obwohl diese Aufgaben schwerer zu lösen sind, haben wir den Vorteil der größeren Robustheit gegenüber Ausreißern in den Daten. Die ersten von uns erhaltenen Ergebnisse sind sehr vielversprechend und motivieren uns, diese Richtung weiter zu verfolgen. Gemeinsam mit unseren nationalen und internationalen ForschungspartnerInnen erwarten wir wichtige Beiträge zur Grundlagenforschung, deren Anwendungen über die Geometrische Datenverarbeitung hinausgehen und in Disziplinien wie Neuro- und Geowissenschaften reichen.

Die Optimierung geometrischer Objekte ist durch die zunehmende Verfügbarkeit geometrischer Daten in unterschiedlichsten Bereichen - von den Neurowissenschaften bis zu den Geowissenschaften - von besonderem Interesse. Motiviert durch die im FWF Projekt "Geometrische Optimierung beweglicher und formbarer Objekte" erzielten Ergebnisse möchten wir die Forschungsarbeiten zu dieser Thematik in einem Folgeprojekt fortsetzen und erweitern. Im neuen Projekt konzentrieren wir unsere Forschung auf zwei Themenbereiche. Im ersten Bereich studieren wir die restringierte Positionierung oder Verformung geometrischer Objekte wie Kurven, Kurvennetzwerke, B-spline Flächen, und triangulierte Punktwolken. Die Restriktionen sind dabei von geometrischer Natur. Wir betrachten zum Beispiel die Optimierung von Kurvennetzwerken in der Gegenwart von Hindernissen, die einseitige Approximation von Punktwolken mit B-spline Flächen, die starre Registrierung von 3D Objekten ohne gegenseitige Druchdringung, und die Berechnung von energieminimierenden Kurven auf Flächen, welche in Bereichen der Fläche mit hoher mittlerer Flächenkrümmung liegen müssen. Im zweiten Themenbereich arbeiten wir an einer neuen Formulierung der Optimierungsaufgaben, indem wir die gängige L2 Norm (Summe der quadrierten Fehlerterme) durch die L1 Norm (Summe der Fehlerterme) ersetzen. Dies führt zu nichtdifferenzierbaren Optimierungsaufgaben, da die L1 Norm nicht überall differenzierbar ist. Obwohl diese Aufgaben schwerer zu lösen sind, haben wir den Vorteil der größeren Robustheit gegenüber Ausreißern in den Daten. Die ersten von uns erhaltenen Ergebnisse sind sehr vielversprechend und motivieren uns, diese Richtung weiter zu verfolgen. Gemeinsam mit unseren nationalen und internationalen ForschungspartnerInnen erwarten wir wichtige Beiträge zur Grundlagenforschung, deren Anwendungen über die Geometrische Datenverarbeitung hinausgehen und in Disziplinien wie Neuro- und Geowissenschaften reichen.