Programm zur Lösung singulärer Randwert/Eigenwertprobleme

Wir beschäftigen uns mit der numerischen Lösung von Randwertproblemen mit einer Singularität erster Art oder mit einer wesentlichen Singularität. Die Entwicklung einer effizienten Lösungsmethode für Probleme mit einer Singularität der ersten Art ist durch zahlreiche Anwendungen in der Physik, Mechanik oder Ökologie motiviert. Probleme mit einer wesentlichen Singularität treten vor allem dann auf, wenn man Probleme, die auf unendlichen Intervallen gestellt sind, auf ein endliches Intervall transformiert. Solche Probleme treten zum Beispiel in der Strömungsmechanik oder im Tiefbau auf. Für Probleme mit Singularität erster Art haben wir einen Matlab Code basierend auf Kollokationsverfahren entwickelt. Diese numerischen Verfahren haben sich als robust zur Berechnung von Lösungen hoher Ordnung erwiesen. Der Code enthält auch einen neuen Fehlerschätzer, dessen asymptotische Korrektheit erst kürzlich für eine wichtige Problemklasse bewiesen werden konnte. Aufbauend auf der Schätzung des globalen Fehlers wurde auch eine Gitterstrategie zur Gleichverteilung des globalen Fehlers implementiert. Mit diesem Code können auch reguläre Randwertaufgaben (ohne Singularität) sehr effizient behandelt werden. Die Projektanliegen im Zusammenhang mit Singularitäten erster Art sind die folgenden: Wir beabsichtigen die Lösungsroutine für die nichtlinearen algebraischen Gleichungen zur Berechnung der Kollokationslösung zu verbessern. Darüberhinaus soll die asymptotische Korrektheit unseres Fehlerschätzers für die allgemeine Problemklasse gezeigt werden. Eine Änderung unserer Gitterverteilungsstrategie (die auf singuläre und reguläre Probleme mit unglatten Lösungen abzielt) und eine theoretische Begründung dieser Vorgangsweise sind ein weiteres Ziel. Für Probleme mit wesentlichen Singularitäten liegen experimentelle Hinweise auf günstige Konvergenzeigenschaften von Kollokationsverfahren vor. Zur Behandlung dieser Problemklasse kann unser Matlab Code nicht eingesetzt werden, da der Fehlerschätzer in diesem Fall versagt. Unser Ziel ist es zu beweisen, dass die Kollokationsverfahren tatsächlich die klassischen Konvergenzordnungen zeigen. Darüber hinaus wollen wir einen geeigneten Fehlerschätzer vorschlagen und theoretisch begründen. Zusammen mit unserer Gitterverteilungsstrategie wollen wir damit einen neuen Matlab Code entwickeln, der auch für wesentliche Singularitäten geeignet ist. Weiters planen wir Lösungsmodule für Eigenwertprobleme in unseren Code zu integrieren.