Fixpunktregularisierungskonzepte und ihre Diskretisierung

In zahlreichen Anwendungen treten inverse Probleme auf, die nicht-linearer Natur sind. Als ein Beispiel sei die Kalibrierung von Modellparametern genannt, die nötig ist, wenn für ein physikalisches Problem die Gleichung zur Beschreibung qualitativ bekannt ist, aber weitere Parameter angepasst werden müssen. Dies geschieht auf der Basis von möglicherweise verrauschten Beobachtungen des zugrunde liegenden Prozesses. Typischerweise sind derartige Probleme schlecht-gestellt und nicht-linear, in dem Sinne, dass die zu bestimmenden Parameter unstetig und nicht- linear von den Messungen abhängen. Es ist wohl bekannt, dass die numerische Behandlung derartiger nicht-linearer schlecht-gestellter Probleme spezielle Methoden zu deren Regularisierung erfordert. Die Frage der richtigen Wahl des entsprechenden Regularisierungs parameters ist sehr wichtig. In der Literatur werden überwiegend Strategien zur Parameterwahl behandelt, die zu iterativen Verfahren vom Gauß-Newton Typ führen. Die theoretische Fundierung derartiger Verfahren gelingt nur unter seht- starken Voraussetzungen, die in den Anwendungen praktisch nie erfüllt sind. Deshalb soll in diesem Projekt eine neue Klasse nicht-linearer Regularisierungs verfahren studiert werden, die Klasse der Fixpunkt-Regularisierungen. Diese Klasse von Verfahren wurde eingeführt und erstmals diskutiert in der fundamentalen Arbeit von Tikhonov und Glasko aus dem Jahre 1965, die Begründung des Verfahrens basierte aber auf heuristischen Prinzipien. Aufbauend auf eigenen Arbeiten zur adaptiven Wahl von Regularisierungs parametern soll eine mathematische Theorie derartiger Fixpunkt-Regularisierungen erarbeitet werden, die es gestattet, nicht- lineare Probleme unter schwächeren Voraussetzungen als bisher optimal approximativ zu lösen.