Mathematische Analyse verdünnter Bose-Gase

Das Phänomen der Bose-Einstein Kondensation, wo eine makroskopische Anzahl atomarer Teilchen kohärent einen einzigen Quantenzustand besetzt, wurde 1925 von Albert Einstein vorhergesagt. Der experimentelle Nachweis ließ allerdings 70 Jahre auf sich warten bis er 1995 von Forschern am MIT und der Universität von Boulder erziehlt wurde. Diese Leistung, die mit dem Physik-Nobelpreis für 1999 gewürdigt wurde, hat weltweit zu grossem Interesse an den Quantenphenomänen in verdünnten Bose-Gase geführt, und gegenwärtig befassen sich viele experimentelle und theoretische Gruppen mit diesem Thema. Während die ursprünglichen Arbeiten von Einstein nur ideal Gase, d.h. Teilchen ohne gegenseitige Wechselwirkung, betrafen, liegt das Hauptgewicht des heutigen Interesses gerade auf den Effekten der unvermeidbaren atomaren Wechselwirkung. Im vorliegenden Projekt sollen mehrere fundamentale Aspekte dieses Forschungsgebietes vom Standpunkt der mathematischen Physik betrachtet werden. Das Leitmotiv ist, von dem vollen quantenmechanischen Vielteilchelchenproblem auszugehen und eine einfachere, effektive Beschreibung des Grundzustandes verdünnter Bose-Gase in magnetischen oder optischen Fallen durch mathematische Theoreme herzuleiten. Spezifische Ziele sind: 1) Eine Ausweitung der bisherigen Abschätzungen und Lokalisierung der Grundzustandsenergie um Bose- Einstein Kondensation für realistischeWechselwirkungen und Parameterberiche zu beweisen. 2) Bestimmung der Parameterbereiche für rotierende Bose-gase wo Instabilitäten von Vortex-Lösungen und Brechung der Rotationssymmetrie aufterten. 3) Herleitung einer effektiven Beschreibung des Vielteilchensystems durch eine nichtlineare Schrödingergleichung (Gross-Pitaevskii Gleichung) auch im Fall gebrochener Rotationssymmetrie.

Das Phänomen der Bose-Einstein Kondensation, wo eine makroskopische Anzahl atomarer Teilchen kohärent einen einzigen Quantenzustand besetzt, wurde 1925 von Albert Einstein vorhergesagt. Der experimentelle Nachweis ließ allerdings 70 Jahre auf sich warten bis er 1995 von Forschern am MIT und der Universität von Boulder erziehlt wurde. Diese Leistung, die mit dem Physik-Nobelpreis für 1999 gewürdigt wurde, hat weltweit zu grossem Interesse an den Quantenphenomänen in verdünnten Bose-Gase geführt, und gegenwärtig befassen sich viele experimentelle und theoretische Gruppen mit diesem Thema. Während die ursprünglichen Arbeiten von Einstein nur ideal Gase, d.h. Teilchen ohne gegenseitige Wechselwirkung, betrafen, liegt das Hauptgewicht des heutigen Interesses gerade auf den Effekten der unvermeidbaren atomaren Wechselwirkung.Im vorliegenden Projekt sollen mehrere fundamentale Aspekte dieses Forschungsgebietes vom Standpunkt der mathematischen Physik betrachtet werden. Das Leitmotiv ist, von dem vollen quantenmechanischen Vielteilchelchenproblem auszugehen und eine einfachere, effektive Beschreibung des Grundzustandes verdünnter Bose-Gase in magnetischen oder optischen Fallen durch mathematische Theoreme herzuleiten. Spezifische Ziele sind: 1. Eine Ausweitung der bisherigen Abschätzungen und Lokalisierung der Grundzustandsenergie um Bose- Einstein Kondensation für realistischeWechselwirkungen und Parameterberiche zu beweisen. 2. Bestimmung der Parameterbereiche für rotierende Bose-gase wo Instabilitäten von Vortex-Lösungen und Brechung der Rotationssymmetrie aufterten. 3. Herleitung einer effektiven Beschreibung des Vielteilchensystems durch eine nichtlineare Schrödingergleichung (Gross-Pitaevskii Gleichung) auch im Fall gebrochener Rotationssymmetrie.