Kubatur auf dem Wiener-Raum

Dieses Projekt beschäftigt sich mit der Lösung stochastischer Differentialgleichungen (SDG), das sind mathematische Modelle für dynamische Prozesse, die durch Zufallskräfte getrieben werden. Eine Lösung ist eine Beschreibung des Prozesses durch Zufallsgrößen, deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen bestimmt werden müssen. Da diese Probleme üblicherweise für eine exakte Lösung zu kompliziert sind, werden sie mit Hilfe des Computers näherungsweise gelöst. Es gibt zwei klassische Lösungsstrategien: Monte-Carlo-Methoden beruhen auf der Berechnung einer genügend großen Zahl von möglichen experimentellen Ergebnissen (sogenannten "Pfaden"), sodass die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Lösung geschätzt werden kann. Andererseits kann auch die Tatsache benützt werden, dass die gesuchten Wahrscheinlichkeitsverteilungen deterministische Aufgaben, im Allgemeinen Partielle Differentialgleichungen (PDG)) lösen. Für diese Problemklasse existiert eine kochentwickelte Theorie inklusive Prozeduren zur approximativen Lösung. Die Motivation für dieses Projekt kam aus einer kürzlich fertiggestellten Arbeit über die Approximation stochastischer Differentialgleichungen, die durch einen Wiener-Prozess getrieben werden. Die Grundidee besteht darin, die Zufallspfade in Monte-Carlo-Methoden durch sorgfältig gewählte deterministische Pfade zu ersetzen. Die Auswahl garantiert, dass die Erwartungswerte von aus der SDG abgeleiteten Zufallsgrößen mit einer bestimmten Genauigkeit berechnet werden können. Das Ziel des Projektes ist es, diese Idee zu einer vollen numerischen Lösungsprozedur auszubauen und sie auf andere Situationen zu erweitern, z.B. wenn der treibende stochastische Prozess ein Sprungprozess ist. Das Projekt kann als (zumindest mathematikintern) "interdisziplinär" bezeichnet werden, weil die beiden Hauptantragsteller ihre Expertisen in stochastischer Prozessen einerseits und in PDG andererseits einbringen werden. Als Anwendung wird ein Simulationsprogramm für Modelle aus der Mathematischen Biologie (zur Beschreibung der Chemotaxis verschiedener Zelltypen, wie z.B. Amöben oder Leukozyten) entstehen.